Jak wiemy całka oznaczona oznacza przyrost funkcji pierwotnej na przedziale (a, b). Interpretacja ekonomiczna zależy od tego, jaką zmienność krańcową reprezentuje funkcja podcałkowa .
Jeżeli jest funkcją kosztów krańcowych, to całka oznaczona jest przyrostem kosztów całkowitych.
Jeżeli jest krańcowym zyskiem, to całka oznaczona jest przyrostem całkowitym zysku.
Podobne interpretacje będą wtedy, gdy funkcja będzie zmiennością krańcową utargu czy poziomu produkcji. Całka oznaczona będzie przyrostem całkowitym utargu lub poziomu produkcji w zadanym przedziale.
Przykład 1. Ustalono, że liczba ludności w ciągu miesięcy w pewnej miejscowości będzie wzrastać zgodnie ze wzorem osób miesięcznie. O ile zwiększy się liczba osób w ciągu 4 miesięcy?
Rozwiązanie: Niech liczba osób w tej miejscowości w chwili będzie opisana funkcją . Postać tej funkcji jest dla nas w tym momencie nieznana. Pochodna tej funkcji oznacza przyrost krańcowy liczby ludności w chwili i z treści zadania wynika, że jest to
Jeżeli tak, to przyrost ludności w ciągu 4 miesięcy znajdziemy jako
Przykład 2. Ustalono, że zapotrzebowanie na ropę wzrasta wykładniczo przy 10 procentowej stopie rocznej i podstawie naturalnej. Jakie będzie zużycie ropy w ciągu najbliższych 4 lat, jeżeli obecny popyt jest na poziomie 30 tys. ton rocznie?
Niech roczne zużycie ropy będzie opisane funkcją . Postać tej funkcji jest dla nas w tym momencie nieznana. Pochodna tej funkcji oznacza krańcowy zużycie ropy i z treści zadania wynika, że jest to funkcja
W takim razie całkowite zapotrzebowanie na ropę w okresie 4 lat znajdziemy jako
tys. Ton
Przykład 3. Ustalono, że miesięczna zmiana liczby bezrobotnych w pewnym rejonie przebiega zgodnie z wzorem dla . O ile wzrośnie liczba bezrobotnych w ciągu 9 miesięcy?
Niech liczba bezrobotnych w miesiącu będzie opisana funkcją . Postaci tej funkcji nie jest znana, ale z treści zadania znamy jej pochodną, czyli krańcowy przyrost bezrobotnych
Ostatecznie całkowity przyrost liczby bezrobotnych w czasie 9 miesięcy znajdziemy jako
Przykład 4. W pewnej firmie rozważano możliwość przyjęcia jednego z dwóch programów inwestycyjnych. Pierwszy z programów zapewnia po latach zysk krańcowy , a drugi program odpowiednio . Przez ile lat program drugi będzie korzystniejszy od pierwszego? Jak będzie całkowita nadwyżka zysku z przyjęcia programu drugiego zamiast pierwszego?
Oznaczmy zyski krańcowe obu programów odpowiednio przez (w tys. zł)
Dla określenia relacji między tymi funkcjami powinniśmy sporządzić szkic wykresu ich funkcji
Dla ustalenia współrzędnej punktu przecięcia wykresów obu funkcji musimy rozwiązać równanie
Warunki naszego zadania spełnia , a z wykresu wynika, że w przedziale zysk krańcowy drugiego programu inwestycyjnego jest większy od zysku z pierwszego programu.
W tym przedziale nadwyżka zysku krańcowego jest opisana różnicą funkcji
Całkowita nadwyżka zysku na przestrzeni 15 lat jest równa
tys. zł
Zakreskowane pole na pokazanym wyżej wykresie jest graficzną ilustracją tej całkowitej nadwyżki zysku.
Przykład 5. Na konto podlegające składanemu oprocentowaniu ciągłemu z NSP (nominalną stopą procentową) przekazywane są w sposób ciągły (najlepiej codziennie) stałe wpłaty w takiej wysokości, aby w ciągu roku wpłacić na to konto kwotę 300 tys. zł. Jaką kwotą będziemy dysponować po okresie 1,5 roku?
Do rozwiązania tego problemu wykorzystamy klasyczną zależność:
, jeżeli jednocześnie
Podzielmy 1,5 roczny okres na podokresów. Zdeponowana w i-tym podokresie w momencie kwota wyniesie złotych i będzie kapitalizowana przez roku dając kapitał
Sumując ten kapitał po wszystkich podokresach uzyskamy łączną wartość kapitału:
Po przejściu do granicy (gdy ) i korzystając z podanej na początku zależności wyznaczamy zgromadzony kapitał rozwiązując całkę oznaczoną:
Ostatecznie po okresie 1,5 roku na koncie zostanie zgromadzony kapitał w wysokości 411824,5 złotego
Uwaga od JG: przykłady zostały zaczerpnięte z książki „Matematyka” autorstwa Jacka Kłopotowskiego i innych wydanej przez SGH w 1999 roku
3
siomak