165 7. Stabilność liniowych układów automatycznej regulacji
7. STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTO- MATYCZNEJ REGULACJI
Oceniając właściwości projektowanego układu automatycznej regulacji zazwyczaj rozpoczynamy od sprawdzenia jego stabilności, albowiem jest to warunek konieczny każdego UAR. Stabilność jest cechą układu, polegającą na przywracaniu go do stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które wytrąciło układ z tego stanu. Stabilność można ocenić, badając ruch swobodny układu, tzn. jego zachowanie pod wpływem warunków początkowych.
Załóżmy, że na układ w pewnym przedziale czasu, oprócz wielkości zadanej wzad działa również sygnał zakłócenia z(t) . W wyniku tych oddziaływań stan układu w chwili t=t0 charakteryzują wartości początkowe, wielkości wyjściowej i ich pochodne po czasie. Załóżmy dalej, że w chwili t0 sygnał zakłócający zanika. Dalsze zachowanie układu jest zatem uwarunkowane wielkością zadaną wzad i warunkami początkowymi , przy czym według zasady superpozycji wpływ tych dwóch wielkości w układach liniowych jest niezależny.
Układ liniowy nazywamy stabilnym asymptotycznie, jeżeli składowa przejściowa odpowiedzi y(t) zanika do zera przy i niezerowych warunkach początkowych.
Bywa, że składowa przejściowa dążyć będzie do skończonej wartości ustalonej dla czasu t dążącego do nieskończoności lub oscyluje z amplitudą dążącą do skończonej wartości. Taki układ nazywamy stabilnym w sensie zwykłym.
Może się zdarzyć, że składowa przejściowa wielkości wyjściowej narasta w sposób nieograniczony lub zaczyna oscylować z narastającą do nieskończoności amplitudą. Taki układ nazywamy niestabilnym.
Często pojęcie stabilności układu, dla lepszego zrozumienia, ilustruje się zachowaniem kulki na wklęsłej, wypukłej i płaskiej powierzchni (rys. 7.1).
Na rys. 7.1a przedstawiona jest kulka znajdująca się wewnątrz sfery. Jeżeli na kulkę działa tylko siła ciężkości F przyjmie ona położenie I. Jeśli pod wpływem zewnętrznych sił (zakłócenia) kulka przyjmie położenie II to pojawia się niezrównoważona składowa F2 , która będzie powodowała przemieszczanie się kulki w kierunku położenia I. Po odpowiednio długim czasie kulka zatrzyma się w położeniu równowagi. Takie zachowanie cechuje układy stabilne asymptotycznie.
Na rys. 7.1b kulka znajduje się na zewnątrz sfery. W położeniu I nie ma żadnej składowej stycznej. Jeśli wskutek działania sił zewnętrznych kulka przemieści się w położenie II , to pojawi się niezrównoważona składowa F2 powodująca oddalanie się kulki od położenia równowagi I. Takie zachowanie jest charakterystyczne dla układów niestabilnych.
Na rys. 7.1c kulka leży na poziomej płaszczyźnie. Jeśli na kulkę działa tylko siła ciężkości, to każde jej położenie jest położeniem równowagi. Układy, które zachowują się w taki sposób nazywamy układami neutralnie stabilnymi.
Przykładowe przebiegi przejściowe (np. charakterystyki impulsowe) w stabilnych i niestabilnych układach automatycznej regulacji przedstawia rys. 7.2.
Rys. 7.2. Przebiegi przejściowe: a) w układach stabilnych, b) w układach niestabilnych
Jeżeli liniowy lub zlinearyzowany układ zamknięty opisany jest za pomocą liniowego równania różniczkowego
(7.1)
gdzie: y=y(t), w=w(t), z=z(t) – odpowiednio wielkość wyjściowa, wartość zadana i zakłócenie lub odchyłki tych wielkości od ich wartości ustalonych yo, wo, zo; an, an-1,¼a1, ao, bm, m-1,¼ b1, bo, cl, cl-1, ¼ c1, co – stałe współczynniki, m £ n i l £ n
lub odpowiadające mu transmitancje operatorowe
(7.2)
(7.3)
to dla oceny jego stabilności należy badać przebieg swobodnej składowej równania (7.1), czyli rozwiązanie równania jednorodnego
(7.4)
dla warunków początkowych zapisanych w sposób ogólny:
(7.5)
gdzie yo, ,- dane wartości.
Ogólne rozwiązanie jednorodnego równania (7.4) ma postać sumy, składniki której zależą od pierwiastków równania charakterystycznego
(7.6)
Zauważmy, że współczynniki równania (7.6), a więc i pierwiastki tego równania zależą tylko od parametrów układu, czyli od właściwości i parametrów elementów składowych oraz ich wzajemnego połączenia.
Równanie charakterystyczne (7.6) może mieć różne pierwiastki. Każdemu rodzajowi pierwiastka (parze pierwiastków) odpowiada inna forma rozwiązania. Rozwiązanie ogólne będzie miało postać sumy cząstkowych rozwiązań odpowiadających poszczególnym typom pierwiastków (patrz wzory (2.65)-(2.68)).
Niech pierwiastki równania charakterystycznego (7.6) będą następujące: jednokrotne rzeczywiste s1, s2, dwukrotny rzeczywisty s3 , jednokrotna para zespolona sprzężona s4 + jb4, s4 - jb4, oraz dwukrotna para zespolona sprzężona s5 + jb5 i s5 - jb5.
Rozwiązanie równania (7.6) w takim przypadku przyjmie postać:
W przypadku badania rzeczywistych UAR raczej nie występują wielokrotne pierwiastki (z racji chociażby stosowania najczęściej przybliżonych metod rozwiązywania równania). Stąd najczęstsze postacie spotykanych rozwiązań cząstkowych to (2.65) oraz (2.67).
Analiza ogólnej postaci rozwiązania jednorodnego równania (7.6) prowadzi do następującego wniosku:
Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności asymptotycznej układu jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego miały ujemne części rzeczywiste
(7.7)
Warunek ten odnosi się zarówno do przypadków, kiedy pierwiastki są rzeczywiste, jak również do pierwiastków zespolonych i wielokrotnych.
Jeżeli chociaż jeden z pierwiastków równania (7.6) ma część rzeczywistą dodatnią to układ jest niestabilny.
Jeżeli równanie (7.6) ma pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie (czyli ujemne) oraz jednokrotne na osi liczb urojonych (np. jeden pierwiastek zerowy lub parę pierwiastków urojonych sprzężonych), to w układzie będą występować drgania o stałej amplitudzie, określonej warunkami początkowymi. Układ jest wówczas na granicy stabilności, a ściśle mówiąc, nie jest stabilny asymptotycznie.
Warunek (7.7) stanowi ogólny, matematyczny warunek stabilności liniowych układów automatyki. Potrzeba ściślejszego rozróżnienia rodzajów stabilności występuje w układach nieliniowych. My zaś rozważając układy liniowe będziemy utożsamiać stabilność ze stabilnością asymptotyczną.
Na bazie warunku (7.7) opracowano kryteria stabilności: analityczne i częstotliwościowe. Kryteria te pozwalają określić stabilność (lub niestabilność) układu bez potrzeby liczenia wprost pierwiastków równania charakterystycznego.
Typowym przedstawicielem kryteriów analitycznych jest kryterium Routha-Hurwitza, zaś kryteriów częstotliwościowych – kryterium Nyquista. Właściwości tych kryteriów podamy niżej.
Kryterium stabilności Routha-Hurwitza zalicza się do analitycznych kryteriów stabilności. Nakłada ono pewne ograniczenia na współczynniki równania charakterystycznego badanego układu. Profesor matematyki Uniwersytetu Harvarda w Cambridge, Routh w 1875 roku sformułował warunki stabilności UAR w postaci tablicy. Szwajcarski matematyk Hurwitz opublikował w 1895 roku kryterium stabilności w postaci układu wyznaczników. Obydwa wymienione kryteria przywodzą do jednakowych nierówności algebraicznych i różnią się tylko sposobem ich uzyskania. Dlatego często kryteria te są łączone i występują pod wspólną nazwą: kryterium Routha-Hurwitza. Omówimy analityczne kryterium stabilności UAR w postaci podanej przez Hurwitza.
Jeśli równanie charakterystyczne układu regulacji ma postać równania (7.6), przy czym , to dla stabilności liniowego UAR koniecznym i wystarczającym jest, aby n wyznaczników Hurwitza - było dodatnimi.
Wyznaczniki Hurwitza są diagonalnymi wyznacznikami kwadratowej macierzy n – go rzędu
(7.8)
ułożonej ze współczynników równania charakterystycznego (7.6), tak że
Nietrudno przekonać się, że . Dlatego ostatni wyznacznik Hurwitza nie musimy obliczać. Warunek jest spełniony, jeśli i
Warunki, przy których układ znajduje się na granicy stabilności, można otrzymać, przyrównując do zera ostatni podwyznacznik Hurwitza przy zapewnieniu dodatniego znaku wszystkich wcześniejszych podwyznaczników. Przy czym powinno być: lub i Warunek a0 = 0 odpowiada aperiodycznej granicy stabilności (bez oscylacji), zaś warunek - periodycznej granicy stabilności.
Dla równań charakterystycznych wyższego rzędu stopień wyznaczników wzrasta, co powoduje komplikacje w obliczeniach. Kryterium Hurwitza w praktyce wykorzystywane jest do układów czwartego-piątego stopnia. Warunki stabilności przyjmują wówczas następujące postacie:
· równanie pierwszego i drugiego stopnia
W tym przypadku warunkiem koniecznym i dostatecznym jest, aby współczynniki równania charakt...
pawelpw