Zakres:

1.       Pochodna funkcji wielu zmiennych i jej zastosowanie

2.       Całki wielokrotne

3.       Całki powierzchniowe, krzywoliniowe

4.       Ciągi i szeregi funkcyjne

Literatura

1.       R. Leitner „Zarys matematyki wyższej” cz II

2.       R. Leitner, J. Zacharski „Zarys matematyki wyższej” cz II

3.       R. Leitner, W Matuszewski, Z. Rojek „Zadania z matematyki wyższej” cz II

4.       J. Gawinecki „Matematyka dla informatyków” cz II

5.       W. Krysicki, L. Włodarski „Analiza matematyczna zadania” cz I, II

6.       W. Stankiewicz, J. Wójtowicz „Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych”

Wykład I 06.02.12r

Funkcje wielu zmiennych, Granica ciągłości funkcji

Rn=RxRxR…xR   dla  n≥2  n∈N              x=x1,x2,…,xn

Rn=x1,x2,…xn:xi∈R              y=(y1,y2,…,yn)

W przestrzeni  Rn wprowadzamy dwa działania              x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)

+:RnxRn→Rn              dla ∀x,y∈Rn

Mnożenie wektora przez liczbe              λ∈R   λ∈Rn

∙:RxRn→Rn              λx=(λx1,λx2,…,λxn)

Struktura (Rn,R,+,  ∙ ) jest przestrzenia wektorową nad ciałem liczbowym R

Uwaga Daba struktura jest przestrzenią wektorową ponieważ działania dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez skalar spełniają tzw. aksjomaty (jest ich 5) przestrzeni wektorowej.

Def. Metryka przestrzeni Rn

Metryka przestrzeni Rn nazywamy odwzorowaniem,

d:RnxRn→R+0

Które spełnia 3 aksjomaty

M1 ∀x,y∈Rn:dx,y≥0,      dx,y=0x=y

M2 ∀x,y∈Rn:dx,y=d(y,x)

M3 ∀x,y,z∈Rn:dx,z≤dx,y+dy,z

Przykłady metryki w przestrzeni  Rn

d1x,y=i=1nxi-y12   -metryka naturalna

d2x,y=i=1n|x1-y1|

d3x,y=max1≤i≤n|xi-yi|

Def Pojęcie kuli w przestrzeni Rn

Kulą o środku x0∈Rn i promieniu r>0 nazywamy taki zbiór

Kx0,r=x∈Rn:dx0,x<r

Przykłady kul o środku w punkcie 0 i promieniu 1 w przestrzeni R2

R2   , x00,0  r=1

d1x0,x=x1-02+x2-02=x1 2+x2 2

x1 2+x1 2<1  x1 2 +x2 2<1

d2x0,x=x1-0=x1+x2

d2x0,x<1

x1+x2<1

d3x0,x=maxx1-0,|x2-0|

maxx1,|x2|<1

Def Otoczenie

Otoczeniem pktu   x0∈Rn  nazywamy dowolną kulę o środku w tym pkcie.

Sąsiedztwem pktu x0 nazywamy dowolną kulę o środku w tym pkcie z wyłączeniem środka

DEF Pkt x0∈A  gdzie  A⊂Rn nazywamy pktem wewnętrznym tego zbioru. Jeżeli istnieje kula o środku w tym pkcie zawarta w zbiorze A

DEF Pkt x0∈Rn nazywamy pktem brzegowym zbioru jeżeli każda kula o środku w tym pkcie zawiera pkty które należą do zbioru i te które nie należą

Pkt x0∈Rn nazywamy pktem skupienia tego zbioru jeżeli w każdym sąsiedztwie tego pktu znajduja się pkty które należą do zbioru A

Zbiór otwarty

Zbiór A⊂Rn nazywamy ograniczonym jeżeli istnieje kula której ten zbiór się zawiera

Spójny

Zbiór A⊂Rn nazywamy zbiorem spójnym jeżeli przy każdym jego rozkładzie na dwa nie puste, rozłączone podzbiory jeden ze zbiorów na pkt skupienia należący do drugiego zbioru

Obszar

Każdy zbiór A⊂Rn nazywamy obszarem gdy jest zbiorem otwartym i spójnym

Zbieżność pktu w przestrzeni Rn

Dany jest ciąg (xk) w przestrzeni Rn

Przy czym xk=x1k, x2k,…,xnk

Def Ciąg (xk) nazywamy zbieżnym do granicy x0=(x10,x20,…,xn0) wtedy i tylko wtedy gdy ∀ε>0 ∃n0∈N ∀n≥n0,  n∈N:dx1,x0<ε

xk→x0    lub     limk→∞xk=x0

TW

Ciąg xk=x1k,x2k,…,xnk jest zbieżny do x0=x10,x20,…,xn0  WTW kiedy odpowiednie współrzędne ciągu xk=1k,k2+12k2,e-k

Zakładamy że przestrzeń R3 dana jest metrzka naturalna (M1)

limk→∞xk=0,12,1

Funkcja n-zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych

Niech A⊂Rn      A≠ ∅

DEF Przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej nazywamy funkcją rzeczywistą n-zmiennych rzeczywistych

x∈A→fx∈R

f:A→R

fx=Fx1,x2,…,xn

...