transformata.pdf

Henryk Kudela, Wyk³ady - równania ró¿niczkowe zwyczajne A., 2003

TRANSFORMATA LAPLACE’A

Powody, dla których stosowana jest transformata Laplace’a do rozwi¹zywania równañ ró¿niczkowych liniowych o sta³ych

wspó³czynnikach s¹ dwa:

1) transformata Laplace’a sprowadza równanie ró¿niczkowe do równania algebraicznego, które rozwi¹zuj¹c pozwala otrzymywaæ

rozwi¹zanie zagadnienie pocz¹tkowego bez koniecznoœci znajdowania równañ fundamentalnych równania jednorodnego i rozwi¹zania

szczególnego

2) Transformata Laplace’a umo¿liwia w rozwi¹zywanie równañ ró¿niczkowych zwyczajnych o sta³ych wspó³czynnikach, w których

funkcja wymuszaj¹ca (prawa strona równania) jest nieci¹g³a w ³atwy sposób.

Transformata Laplace’a zdefiniowana jest przy pomocy ca³ki niew³aœciwej.

Definicja: Niech f(t) bêdzie funkcj¹ okreœlon¹ dla 0 # t< 4 . Transformata Laplace’a funkcji f(t), któr¹ oznaczaæ bêdziemy jako F(s) lub

L {f(t)}, zadana jest wzorem:

gdzie ca³kê niew³aœciw¹ rozumie siê jako granicê:

transformatê Laplace’a funkcji 1, e at , t, sin T t, cos T t

1. f(t)=1

2 . f(t)=e at

3 . f(t)=t

-1-

Henryk Kudela, Wyk³ady - równania ró¿niczkowe zwyczajne A., 2003

4 . f(t)=cos T t oraz f(t)=sin T t

Porównuj¹c stronami ze sob¹ czêœæ rzeczywist¹ i urojon¹ otrzymujemy:

W³asnoœci transformaty Laplace’a

1. Liniowoœæ

2. Transformata pochodnej i drugiej pochodnej, mno¿enie funkcji przez czas, mno¿enie funkcji przez funkcjê ekspotencjalna ,

skalowanie czasu(argument funkcji f(t) mno¿ony jest przez stal¹ c), transformata funkcji opóŸnionej (przesuniêtej w czasie o c),

transformata ca³ki

Niech F(s)= {f(t)}.

W ³asnoœæ 4 nazywana jest w literaturze pierwszym twierdzeniem o przesuniêciu , natomiast w³asnoœæ 6 jest drugim twierdzeniem o

przesuniêciu. We wzorze opisuj¹cym w³asnoœæ 6. wystêpuje funkcja H(t) nazywana funkcj¹

skoku jednostkowego, lub jedynk¹ Heaviside’a.

Definicja: Funkcj¹ skoku jednostkowego nazywamy funkcjê zdefiniowan¹ nastêpuj¹co:

-2-

Henryk Kudela, Wyk³ady - równania ró¿niczkowe zwyczajne A., 2003

Funkcja Heaviside’a przesuniêta w czasie o c oznaczamy przez H c (t) i definiujemy jako :

Transformata Laplace’a funkcji H c (t) jest równa:

(zgodnie z w³asnoœci¹ 6 poniewa¿ jest to transformata funkcji sta³ej f=1

przesuniêtej o c )

Funkcja Heaviside’a wykorzystywana jest do definiowania funkcji przesuniêtej w czasie. Niech f bêdzie dowoln¹ funkcja

zdefiniowan¹ na przedziale 0 # t< 4 , a funkcja g bêdzie funkcj¹ otrzyman¹ z funkcji f przez przesuniêcie wykresu funkcji f o c jednostek

w prawo:

Funkcjê g(t) mo¿na zapisaæ jako:

Transformata Laplace’a funkcji g(t) dana jest wzorem zgodnie z

w³asnoœci¹ 6.

Zestawione w³asnoœci transformaty Laplace’a i znajomoœæ transformat

dla niektórych elementarnych funkcji pozwalaj¹ na obliczanie innych bardziej z³o¿onych funkcji bez uciekania siê do definicji

ca³kowej transformaty. Pozwalaj¹ te¿ wyznaczyæ transformatê odwrotn¹ tzn. dla danej transformaty Laplace’a znaleŸæ funkcjê która

odpowiada danej transformacje w

dziedzinie czasu. Transformatê odwrotn¹

oznaczamy jako -1 .

Przyklady:

1.Wyznaczyæ transformaty Laplace’a funkcji f(t)= te 2t

Transformata {e 2t }=1/(s-2) (w³asnoœæ 4. poniewa¿ transformata funkcji {1}=1/s). Z w³asnoœci 3 wynika,¿e mno¿eniu funkcji f(t)

przez czas w dziedzinie t odpowiada ró¿niczkowaniu w dziedzinie s ze zmian¹ znaku czyli

2. Wyznaczyæ transformatê Laplace’a funkcji f(t)=e 3t sint

Transformata funkcji {sint}=1/(s 2 +1), mno¿enie przez e 3t powoduje, zgodnie z w³asnoœci¹ 4 zamianê argumentu s na s-3 czyli

-3-

Henryk Kudela, Wyk³ady - równania ró¿niczkowe zwyczajne A., 2003

3. Jaka funkcja f(t) odpowiada transformacie

Zauwa¿my, ¿e argument s jest przesuniêty o sta³a liczbê 7. Nale¿y zastanowiæ siê jak¹ funkcjê reprezentuje wiêc transformata

:s/(25+s 2 ). Jest to transformata {cos5t}=s/(5 2 +s 2 ). Tak wiêc, zgodnie z w³asnoœci¹ 4

4. Jaka funkcja f(t) odpowiada transformacie: 1/(s 2 -4s+9) ?

Mianownik tej transformaty nie daje siê przedstawiæ w postaci iloczynowej przez rozk³ad na czynniki (wyró¿nik ) <0), ale

Wiemy te¿, ¿e

Na mocy w³asnoœci 4 otrzymujemy:

5. Jaka funkcja odpowiada transformacie s/ (s 2 -4s+9) ?

Na mocy w³asnoœci 1 wiemy, ¿e mno¿eniu przez s odpowiada ró¿niczkowaniu w dziedzinie czasu {f’(t)}=sF(s)-f(0) czyli

wykorzystuj¹c wynik z przyk³adu 4 mo¿emy zapisaæ:

6. Jaka funkcja odpowiada transformacie

Transformata funkcji 1/(s 2 +4) odpowiada funkcji (1/2) sin2t. Z w³asnoœci 7 wiemy, ¿e dzieleniu przez s transformaty, w dziedzinie

czasu t odpowiada ca³kowaniu , a wiec:

-4-

Henryk Kudela, Wyk³ady - równania ró¿niczkowe zwyczajne A., 2003

7. Wyznaczyæ transformatê Laplace’a impulsu prostok¹tnego (rys)

Zauwa¿my, ¿e impuls prostok¹tny daje siê przedstawiæ jako suma dwóch funkcji Heaviside’a H t1 (t) oraz -

H t2 (t) (rys)

a wiêc na mocy w³asnoœci 6 transformata impulsu prostok¹ tnego dana jest wzorem:

8. Wyznaczyæ transformatê Laplace’a sygna³u przedstawionego na wykresie i danej wzorem:

Zauwa¿my,ze funkcjê (wykres) mo¿na otrzymaæ przez z³o¿enie dwóch funkcji: g 1 =t oraz

g 2 =-H t0 (t)(t-t 0 ) (funkcja g 2 jest przesuniêciem funkcji -t o t 0 ), a wiec transformata na mocy liniowoœci

dana jest wzorem:

Gdy mamy do czynienia z funkcj¹, która jest tylko kawa³kami ci¹g³a tzn, zadana jest przedzia³ami postêpowanie majce nas szybko

doprowadziæ do transformaty Laplace;a mo¿na streœciæ w dwóch punktach:

1) Funkcjê zadan¹ przedzia³ami nale¿y wyraziæ w postaci jednej formu³y,

2) teraz nale¿y zastosowaæ transformatê Laplace’a

Do zapisu funkcji zadanej przedzia³ami bardzo pomocna jest funkcja skoku jednostkowego (jedynka Heaviside’a). Przy czym stasuje

siê nastêpuj¹ce regu³y: funkcjê na lewo od punktu nieci¹g³oœci nazywa siê “lew¹ ga³êzi¹”, natomiast funkcjê na prawo od punktu

nieci¹g³oœci “praw¹ ga³êzi¹”. Regu³a zapisu jest nastêpuj¹ca:

„lewa ga³¹Ÿ” +H(t-t 0 ) („prawa ga³¹Ÿ” -„lewa ga³¹Ÿ”)

Funkcjê na rysunku powy¿ej mo¿na zapisaæ: f(t)=t+H(t-2)(1-t) (sprawdziæ, ¿e rzeczywiœcie tak jest) i teraz mo¿na obliczyæ

transformatê Laplace’a. N ale¿y pamiêtaæ, ¿e aby mo¿na by³o zastosowaæ w³asnoœæ 6 z tabeli powy¿ej ( drugie twierdzenia o

przesuniêciu), nale¿y pamiêtaæ, ¿e wyra¿enie musi byæ w postaci f(t-a)H(t-a) (argument funkcji f jest przesuniêty o a ). Tak wiêc np.

je¿eli mamy obliczyæ transformatê Laplace’a funkcji t H( t-a ) gdzie f= t , to wyra¿enie nale¿y przekszta³ciæ nastêpuj¹co: (t-a+a)H(t-a)

(dodaliœmy i odjêliœmy a).Teraz ju¿ mo¿na zastosowaæ w³asnoœæ 6. Otrzymujemy: (t H(t-a))= (t-a+a)H(t-a)=e -as /s 2 -ae -as /s. (Obliczyæ

-5-

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: