Tradycyjny rachunek nazw
Wstęp
W tym module zajmiemy się rachunkiem nazw, zwanym często po prostu logiką tradycyjną albo arystotelesowską. Jest to system o możliwościach zbyt ograniczonych, aby pozwolić na analizę wielu rozumowań w języku naturalnym. Mimo to, zakres jego zastosowań pod pewnym względem przewyższa możliwości rachunku zdań omawianego w poprzednim module. Zademonstrujemy to na prostym przykładzie. Poniższe rozumowanie jest poprawne:
Wszystkie słonie są ssakami. Każdy ssak jest kręgowcem. Zatem każdy słoń jest kręgowcem.
Jednak próba wykazania jego poprawności przy użyciu KRZ jest skazana na niepowodzenie, gdyż nie występują tu w ogóle spójniki. Na gruncie KRZ schemat powyższego rozumowania wygląda więc następująco:
p, q / r
Wystarczy użyć wartościowania V(p) = V(q) = 1 i V(r) = 0, aby taki schemat poddać falsyfikacji. Aby wykazać, że interesujące nas rozumowanie jest poprawne, musimy umieć poddać analizie strukturę wewnętrzną jego zdań składowych, a to umożliwia rachunek nazw.
Poświęcimy prezentacji rachunku nazw cztery tematy. W ostatnim przedstawimy język klasycznego rachunku kwantyfikatorów (w skrócie KRK), który jest współczesną formą logiki klasycznej i zawiera w sobie zarówno rachunek zdań, jak i rachunek nazw. Jednak KRK to dużo bardziej skomplikowany system i dlatego więcej uwagi poświęcimy prostszemu systemowi, czyli rachunkowi nazw.
1. Zdania kategoryczne
1.1. Logika Arystotelesa
Historycznie pierwszy system logiczny, zbudowany przez Arystotelesa blisko 2,5 tysiąca lat temu, nie był logiką zdań, ale logiką nazw. Arystoteles wprawdzie intuicyjnie stosował niektóre zasady klasycznego rachunku zdań, ale nie rozwinął go w systematyczny sposób. Zbudował natomiast ograniczoną wersję rachunku nazw, czyli takiej logiki, w której występują zmienne nazwowe.
Ograniczenia logiki Arystotelesa są dość istotne. Po pierwsze, w jego systemie występują tylko zmienne reprezentujące nazwy ogólne, czyli posiadające więcej niż jeden desygnat. Po drugie, analizowane są tylko wybrane rodzaje zdań, tzw. zdania kategoryczne. Po trzecie, w jego systemie mamy ujęcie tylko bardzo specyficznej klasy rozumowań, tzw. wnioskowań bezpośrednich oraz pośrednich, określanych tradycyjnie jako sylogizmy. Ze względu na ważność tych ostatnich, logikę Arystotelesa określa się często jako sylogistykę.
Współczesna logika matematyczna, czyli tzw. klasyczny rachunek kwantyfikatorów (KRK) — z powodu jej zasięgu — jest znacznie przydatniejszym narzędziem analizy rozumowań. Zarówno rachunek zdań, jak i sylogistyka, są po prostu jej częściami. Jednak KRK jest systemem złożonym i jego dokładna prezentacja przekracza ramy tego kursu. W ostatnim temacie ograniczymy się tylko do bardzo krótkiego wprowadzenia do języka KRK, natomiast resztę modułu przeznaczymy na prezentację systemu Arystotelesa.
Mimo swoich ograniczeń, sylogistyka jest bardzo pożytecznym narzędziem. Przede wszystkim jest to system znacznie prostszy od KRK i dlatego można go sobie przyswoić nawet w ramach krótkiego kursu logiki. Poza tym w ramach sylogistyki formalizuje się bardzo popularne rodzaje rozumowań, które często nam w życiu towarzyszą. Dlatego, chociaż nie powinno się przeceniać znaczenia i zasięgu tego systemu, to warto opanować jego zasady.
1.2. Zdania kategoryczne
Są to zdania proste podmiotowo-orzecznikowe, w których występują dwie nazwy ogólne. Arystoteles dzielił je na 3 grupy, w zależności od siły orzekania. Jeżeli stwierdzamy, że pewna relacja między podmiotem i orzeczeniem zachodzi z konieczności, to jest to zdanie apodyktyczne. Jeżeli zachodzenie tej relacji stwierdzamy jako coś możliwego, to jest to zdanie problematyczne. W przypadku braku takiej kwalifikacji modalnej mamy do czynienia ze zdaniem asertorycznym.
W dalszym ciągu ograniczymy się do wykładu logiki zdań asertorycznych. Wyróżniamy cztery rodzaje takich zdań. Poniżej podamy ich przykłady oraz tradycyjny sposób formalizacji, w którym litery S i P to zmienne nazwowe, reprezentujące odpowiednio podmiot (subiectum) i orzecznik (praedicatum) zdania kategorycznego.
Zdanie:
1. Każdy pies jest zwierzęciem
to przykład zdania ogólno-twierdzącego, którego schemat zapiszemy następująco:
2. SaP, gdzie S — pies, P — zwierzę, a — Każdy... jest...
Schemat zdania ogólno-przeczącego, np.:
3. Żaden pies nie jest rybą
zapiszemy tak:
4. SeP, gdzie S — pies, P — ryba, e — Żaden... nie jest...
5. Niektóre psy są inteligentne,
które reprezentuje tzw. zdania szczegółowo-twierdzące, zapiszemy:
6. SiP, gdzie S — pies, P — inteligentny, i — Niektóre... są...
Natomiast zdanie szczegółowo-przeczące, np:
7. Niektóre psy nie szczekają
8. SoP, gdzie S — pies, P — stworzenie szczekające, o — Niektóre... nie są...
Ostatni przykład pokazuje, że wiele zdań w języku polskim wymaga drobnego przeformułowania, aby uznać je za zdania kategoryczne w sensie ścisłym. Litery „a”, „e”, „i”, „o” oznaczają specyficzne stałe logiczne rachunku nazw, których znaczenie określa zarówno rodzaj kwantyfikacji występującej w zdaniu kategorycznym, jak i rodzaj orzekania. Z tego względu zdania kategoryczne dzieli się według ilości i jakości. Według jakości wyróżniamy zdania twierdzące i przeczące, według ilości — zdania ogólne i szczegółowe.
1.3 Prawdziwość zdań kategorycznych
Zastanówmy się nad warunkami prawdziwości zdań kategorycznych. Korzystając z tego, że ekstensją dowolnej nazwy ogólnej jest niepusty zbiór, wprowadzimy teoriomnogościową interpretację tych warunków. Symbole S i P oznaczać będą dalej nie tylko nazwy występujące jako podmiot i orzecznik, ale również ich ekstensje.
a) SaP jest prawdziwe wtw, S ⊆ P, co jest równoważne stwierdzeniu, że S − P = ∅,
b) SeP jest prawdziwe wtw, S ∩ P = ∅,
c) SiP jest prawdziwe wtw, S ∩ P ≠ ∅,
d) SoP jest prawdziwe wtw, S − P ≠ ∅.
Jak widać, prawdziwość każdego zdania kategorycznego da się sprowadzić do tego, czy pewien zbiór jest pusty, czy nie.
1.4 Reprezentacja graficzna
Powszechnie stosowanym i wygodnym sposobem sprawdzania poprawności rozumowań zbudowanych ze zdań kategorycznych są różnego rodzaju diagramy. Do analizy rozumowań sylogistycznych moglibyśmy np. zastosować diagramy Eulera, jednak efektywniejszą metodą okazują się diagramy Venna.
Diagram Venna dla dwóch zbiorów składa się z dwóch krzyżujących się okręgów:
Rysunek 1
Obszar I oznacza tu zbiór −S ∩ −P, II — S − P, III — S ∩ P, a IV — P − S. Problem graficznej reprezentacji prawdziwości zdań kategorycznych sprowadza się zatem do zaznaczenia na diagramie Venna pustości lub niepustości pewnego zbioru. Przyjmijmy,że w przypadku niepustości, na danym obszarze postawimy symbol X, a w przypadku pustości — ∅. Obszar, o którym nie mamy informacji, nie będzie zawierał żadnych symboli. Zgodnie z tą konwencją prawdziwość zdań kategorycznych będą wyrażać następujące diagramy:
a) SaP
Rysunek 2
b) SeP
Rysunek 3
c) SiP
Rysunek 4
d) SoP
Rysunek 5
2. Wnioskowanie bezpośrednie
2.1. Kwadrat logiczny
Zastanówmy się, jakie relacje logiczne zachodzą między różnymi zdaniami kategorycznymi o tym samym podmiocie i orzeczniku. W średniowieczu dla lepszego przedstawienia tych związków używano diagramu zwanego kwadratem logicznym.
Rysunek 6
Najłatwiej zauważyć, jaka relacja zachodzi w pionie pomiędzy zdaniami ogólnymi i szczegółowymi tej samej jakości. Jest to relacja wynikania, określana też w logice tradycyjnej jako relacja podporządkowania. Strzałki zaznaczają kierunek tej relacji, tzn. ze zdania ogólnego wynika zdanie szczegółowe (jest mu podporządkowane), ale nie odwrotnie.
Między zdaniami ogólnymi o różnej jakości (szczyt kwadratu) zachodzi relacja wykluczania (sprzeczności), zwana w logice tradycyjnej relacją przeciwieństwa i oznaczona linią przerywaną. Oznacza to, że choć zdania takie mogą być zarazem fałszywe, to prawdziwe oba być nie mogą. Przykładowo, podstawienie S — ssak, P — kręgowiec daje nam prawdziwość jednego ze zdań, a fałszywość drugiego. Podstawienie S — Polak, P — pijak daje nam fałszywość obu zdań.
Dół kwadratu (linia kropkowana) to relacja dopełniania, zwana tradycyjnie relacją podprzeciwieństwa. Zatem dwa zdania szczegółowe o różnej jakości nie mogą być zarazem fałszywe, choć oba mogą być prawdziwe. Przykładowo podstawienie S — krowa, P — łaciata daje prawdziwość obu zdań. Podstawienie S — ssak, P — kręgowiec daje nam prawdziwość jednego ze zdań a fałszywość drugiego.
Gruba linia łącząca zdania po przekątnej oznacza relację mocnej sprzeczności. W dowolnej parze zdań o różnej jakości i ilości zawsze jedno będzie prawdziwe a drugie fałszywe, choć możemy nie wiedzieć, które z nich jaką wartość logiczną posiada.
2.2. Znaczenie zwrotu „niektóre”
Warto podkreślić, że zwrot „niektóre” używany jest tutaj w znaczeniu „co najmniej jeden”, co oznacza, że zdanie szczegółowe jest prawdziwe również wtedy, gdy wszystkie desygnaty podmiotu mają własność wyrażaną przez orzecznik (w zdaniach twierdzących) lub jej nie mają (w zdaniach przeczących). Jest to istotne wyjaśnienie, gdyż potocznie często zwrotu tego używamy w znaczeniu „pewne, ale nie wszystkie”. W tym drugim znaczeniu nie moglibyśmy uznać np. zdania „Niektóre ssaki są kręgowcami” za prawdziwe (jak to zrobiliśmy powyżej). Co więcej, przy takim rozumieniu zwrotu „niektóre” nie zachodzi większość relacji logicznych zaznaczonych na kwadracie logicznym.
2.3. Prawa kwadratu logicznego
Tradycyjny rachunek nazw jest systemem logicznym nadbudowanym nad rachunkiem zdań. Oznacza to, że oprócz czterech nowych stałych logicznych, które budują zdania proste (czyli kategoryczne) możemy używać również spójników KRZ do budowy zdań złożonych. Skorzystamy z tego obecnie. Zachodzenie powyższych relacji pozwala nam stwierdzić, że poniższe formuły są prawami logicznymi (tautologiami) tradycyjnego rachunku nazw:
1. SaP → SiP
2. SeP → SoP
3. ¬SiP → ¬SaP
4. ¬SoP → ¬SeP
5. ¬(SaP ∧ SeP)
6. SaP → ¬SeP
7. SeP → ¬SaP
8. SiP ∨ SoP
9. ¬SiP → SoP
10. ¬SoP → SiP
11. SaP ↔ ¬SoP
12. SeP ↔ ¬SiP
13. SiP ↔ ¬SeP
14. SoP ↔ ¬SaP
Prawa 1–4 są pochodną wynikania; w szczególności 3 i 4 otrzymujemy z 1 i 2 przez kontrapozycję. Prawa 5–7 są konsekwencją wykluczania zdań ogólnych, a 8–10 — dopełniania zdań szczegółowych. Ostatnie cztery wzory charakteryzują sprzeczność mocną.
2.4. Wnioskowania bezpośrednie
Taką nazwą określa się w logice tradycyjnej proste schematy rozumowań z jednej przesłanki, w których zarówno przesłanka, jak i wniosek są zdaniami kategorycznymi, względnie ich negacjami.
Pamiętając o zależności między tautologicznymi implikacjami a schematami poprawnych rozumowań, można z podanych wyżej tautologii uzyskać szereg takich schematów. W szczególności prawa 11–14 dają podstawę do 8 schematów, np. z 11. mamy dwa schematy o postaci: SaP / ¬SoP i ¬SoP / SaP. Tylko prawa 5. i 8. nie uzasadniają żadnego schematu wnioskowań bezpośrednich.
Nie są to jedyne formy wnioskowania bezpośredniego uznawane w logice tradycyjnej. Poniżej omówimy najważniejsze rodzaje pozostałych.
2.5. Konwersja
Jest to wnioskowanie, w którym dokonujemy przestawienia podmiotu i orzecznika. Oddają to następujące schematy:
SaP / PiS SiP / PiS SeP / PeS
W przypadku SaP dodatkowo zmienia się ilość wniosku. Jest to tak zwana konwersja z ograniczeniem. W pozostałych wypadkach mamy konwersję prostą.
Gdyby dla zdania SaP dopuścić konwersję prostą, to można by ze zdania „Każdy pies jest drapieżnikiem” wywnioskować zdanie „Każdy drapieżnik jest psem”, co uzasadnia konieczność dodatkowej zmiany we wniosku. Zdanie postaci SoP w ogóle nie poddaje się konwersji, np. ze zdania „Niektórzy ludzie nie są politykami” wbrew pozorom nie wynika zdanie „Niektórzy politycy nie są ludźmi”.
2.6. Negacja przynazwowa
W rozważanych rozumowaniach dopuszcza się również negację przynazwową, która w języku naturalnym wyrażana jest często za pomocą prefiksów „nie-”, „a-”, „non-”, „bez-”, dołączonych do zaprzeczanej nazwy. Tworzymy w ten sposób antonim dla danej nazwy. Przykładowo: „niepospolity”, „anormalny”, „nonsensowny”, „bezkręgowiec”. Oczywiście, nie zawsze fakt, że dana nazwa tak się zaczyna oznacza, że mamy do czynienia z nazwą zaprzeczoną. Na przykład „alkoholik” to nie forma zaprzeczona nazwy „lkoholik” a „absurd” to nie zaprzeczenie „bsurdu”.
Jeżeli w języku naturalnym nie występuje dla danej nazwy odpowiedni antonim, zawsze możemy go wprowadzić sztucznie przez dodanie zwrotu „nie-”, przykładowo: „pies”–„nie-pies”. Symbolicznie będziemy negację przynazwową zaznaczać, stawiając apostrof za nazwą zaprzeczaną.
2.7 Obwersja
Jest to forma rozumowania, w której dokonuje się zmiana jakości przesłanki z jednoczesnym zanegowaniem orzecznika. W przeciwieństwie do konwersji jest to operacja uniwersalna, tzn. rezultat obwersji zawsze wynika z przesłanki, co daje cztery schematy:
SaP / SeP’ SiP / SoP’ SeP / SaP’ SoP / SiP’
Przykładowo ze zdania „Niektórzy politycy nie są uczciwi” wynika przez obwersję „Niektórzy politycy są nieuczciwi”.
2.8 Kontrapozycja
W rozumowaniu takim jednocześnie przestawiamy podmiot z orzecznikiem i dokonujemy ich zanegowania, podobnie jak w KRZ, gdzie dokonuje się przestawienia członów implikacji wraz z ich zanegowaniem. Poprawne są następujące formy:
SaP / P’aS’ SeP / P’oS’ SoP / P’oS’
W tym wypadku zdanie typu SeP wymaga kontrapozycji ograniczonej, tzn. z jednoczesną zmianą ilości przesłanki, gdyż w przeciwnym wypadku można np. ze zdania „Żaden owad nie jest kręgowcem” wywnioskować „Żaden bezkręgowiec nie jest nie-owadem”, co jest oczywiście fałszem, gdyż do bezkręgowców należą nie tylko owady. Zdania typu SiP nie poddają się kontrapozycji.
3. Sylogizmy
3.1. Wnioskowania pośrednie
Oprócz wnioskowań bezpośrednich, które są po prostu formą przekształcenia zdania kategorycznego, w logice tradycyjnej rozważa się również wnioskowania z większej ilości przesłanek, zwane wnioskowaniami pośrednimi. Szczególną rolę odgrywają pewne formy rozumowań o dwóch przesłankach zwane sylogizmami.
Teoria sylogizmu obrosła w ciągu wieków skomplikowaną terminologią, którą omówimy przy okazji podania jego definicji. I stnieje też wiele pomysłowych metod sprawdzania poprawności sylogizmów, w szczególności metody graficzne. W tym temacie omówimy dwie metody o charakterze pamięciowym, w następnym pokażemy jak wykorzystać diagramy Venna, wprowadzone w pierwszym temacie.
3.2. Sylogizm
Jest to forma wnioskowania pośredniego, która składa się z trzech zdań kategorycznych (dwie przesłanki), w których występują tylko trzy różne nazwy, zwane terminami sylogizmu. Każdy termin występuje w sylogizmie tylko dwa razy, a oba wystąpienia są w różnych zdaniach sylogizmu. Podmiot wniosku to termin mniejszy, jego orzecznik to termin większy, natomiast nazwa, która występuje w obu przesłankach, to termin średni (pośredniczący). Litery S i P nadal będą oznaczać podmiot i orzecznik wniosku, natomiast M (od łac. medius) oznaczać będzie termin średni.
Przesłanka zawierająca termin mniejszy to przesłanka mniejsza, natomiast przesłanka zawierająca termin większy to przesłanka większa. Przesłankę większą zwykło się podawać jako pierwszą przesłankę sylogizmu. Pozwala to dokonać pewnego uporządkowania możliwych form, gdyż z logicznego punktu widzenia kolejność przesłanek nie ma żadnego znaczenia. Oto przykład rozumowania sylogistycznego:
1. Każdy pies jest drapieżnikiem. Każdy ratlerek jest psem. Zatem każdy ratlerek jest drapieżnikiem.
...
marysia290a