WYKŁAD 6 opracował Jacek Nowak gr.5
1.Rozkład dyskretny (skokowy)
X: Ω→R (zmienna losowa)
Jeżeli X(Ω) = K = {x1,......, xn} ( lub K = {x1,......, xn,.....} )
oraz Px({xi}) = pi i ∑ pi = 1, pi>0
to Px = jest rozkładem (dyskretnym) zmiennej losowej X
2. Rozkład ciągły
Jeżeli funkcja f spełnia warunki : a) F(x) ≥ 0
b) = 1
oraz Px = fL wtedy Px(A) = jest rozkładem (ciągłym) zmiennej X
3. Rozkład osobliwy
Zmienna losowa X ma rozkład osobliwy jeżeli istnieje E B(R) taki że
L(E) = 0, oraz Px({x}) = 0 i Px(E) > 0
Można udowodnić , że każdy rozkład zmiennej losowej na prostej jest wypukłą kombinacją rozkładu dyskretnego , ciągłego i osobliwego.
Tzn.
dla X: Ω→R (zmienna losowa)
Px = α1Pd + α2Pc + α3Po przy spełnionych warunkach α1+ α2 + α3 = 1 i α1α2α3 ≥ 0
Gdzie Pd rozkład dyskretny
Pc rozkład ciągły
Po rozkład osobliwy
Df 6.1 (mieszany rozkład prawdopodobieństwa)
Rrozkład zmiennej losowej postaci Px = α1Pd + α2Pc gdzie zachodzi α1+ α2 =1 i α1α2>0
(Pd-rozkład dyskretny Pc-rozkład cg.)nazywamy mieszanym rozkładem prawdopodobieństwa
Pd = 0,5 δ1 + 0,25 δ2 + 0,25 δ10
Pc = fL
gdzie
α1 = ⅓ α2 = ⅔
wyznaczyć Px
rozwiązanie :
Px = ⅓(0,5 δ1 + 0,25 δ2 + 0,25 δ10) + ⅔fL
Px = δ1 + δ2 + δ10 + gL
Znając Px wyznaczyć Pd i Pc
Px = ⅓ δ-1+ ⅓δ1+ fL
rozwiązanie:
Sprawdzamy czy Px(R)=1
Px(R)= ⅓ + ⅓ + =1
Zmienna losowa X ma rozkład mieszany gdzie Pd = p1δ-1 + p2δ1
przy spełnionych warunkach p1+ p2 = 1 oraz p1p2>0 ,
zachodzi ponadto ⅓ = α p1
oraz ⅓ = α p2 gdyż Px = αPd + α1Pc
Z warunków tych otrzymujemy α = ⅔
oraz p1 = ½
p2 = ½
Co daje Pd = ½δ-1 + ½δ1 a ponieważ α + α1 = 1 mamy α1 = ⅓ więc f = α1g
i otrzymujemy g = 3f stąd Pc ma postać Pc = gL gdzie
Df 6.2 (dystrybuanta)
Dystrybuantą miary μ nazywamy funkcję Fμ : R→R taką , że Fμ(x) = μ((-∞,x))
Df 6.3 (dystrybuanta dla μ równego Px )
Niech (R,B(R), Px) przestrzeń probabilistyczna
Dystrybuantę zmiennej losowej X nazywamy dystrybuantę miary Px
Dystrybuanta: Fx(x) R→R Fx(x) = Px((-∞,x)) = P(X<x) =
Rozkład dyskretny Px = X(Ω) = K = {x1,......, xn} ( lub K = {x1,......, xn,.....} )
Wtedy dystrybuanta tego rozkładu ma postać Fx(x) = Px((-∞,x)) = ∑ piδxi((-∞,x)) =
Znaleźć dystrybuantę rozkładu Px = 0,2 δ2 + 0.,3 δ1 + 0,4δ9 + 0,1 δ10
Px = fL
Fx(x) = Px((-∞,x)) = (fL) ((-∞,x)) =
0 x ≤ 1 ∈
Fx(x) =
a) lim Fx(x) = 0
x→ -∞
b) lim Fx(x) = 1
x→ ∞
c) Fx jest funkcją niemalejącą
d) Fx jest lewostronnie ciągła
e) zbiór punktów nieciągłości jest skończony lub przeliczalny
Oznaczenie oznaczamy jako Fx(xo + 0)
Każda funkcja F : R→R spełniająca warunki a) – e) jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej.
Jeżeli funkcja F : R→R spełniająca warunki a) – e) jest funkcją schodkową taką , że dla punktów nieciągłości N = {x1,......, xn} zachodzi∈ (F(xi + 0) - F(xi )) = 1, to F jest dystrybuantą pewnego rozkładu dyskretnego takiego , że Px = ∑ piδxi gdzie xi∈N oraz
pi = F(xi + 0) - F(xi ) .
Px = p1δ1 + p2δ3 + p3δ5 + p4δ7
p1 = Fx(1 + 0) - Fx(1) = 0,2
p2 = Fx(3 + 0) - Fx(3) = 0,2
p3 = Fx(5 + 0) - Fx(5) = 0,3
p4 ...
slimalke