WYKŁAD 6  opracował Jacek Nowak gr.5

1.Rozkład dyskretny (skokowy)

X:  Ω→R (zmienna losowa)

Jeżeli  X(Ω) = K = {x1,......, xn}  ( lub K = {x1,......, xn,.....} )

oraz Px({xi}) = pi   i   ∑ pi = 1, pi>0

to Px = jest rozkładem (dyskretnym) zmiennej losowej X

2. Rozkład ciągły

Jeżeli funkcja f spełnia warunki : a) F(x) ≥ 0

                                                      b) = 1

oraz Px = fL   wtedy  Px(A) = jest rozkładem (ciągłym) zmiennej X

3. Rozkład osobliwy

Zmienna losowa X ma rozkład osobliwy jeżeli istnieje E B(R)  taki że

L(E) = 0, oraz   Px({x}) = 0  i  Px(E) > 0

Twierdzenie 6.1

Można udowodnić , że każdy rozkład zmiennej losowej na prostej jest wypukłą kombinacją rozkładu dyskretnego , ciągłego i osobliwego.

   Tzn.

    dla  X:  Ω→R (zmienna losowa)

Px = α1Pd + α2Pc + α3Po      przy spełnionych warunkach    α1+ α2 + α3 = 1  i  α1α2α3 ≥ 0

Gdzie Pd rozkład dyskretny

          Pc rozkład ciągły

          Po rozkład osobliwy

Df 6.1 (mieszany rozkład prawdopodobieństwa)

Rrozkład zmiennej losowej postaci Px = α1Pd + α2Pc gdzie zachodzi α1+ α2 =1 i α1α2>0

(Pd-rozkład dyskretny Pc-rozkład cg.)nazywamy mieszanym rozkładem prawdopodobieństwa

Przykład 6.1

Pd = 0,5 δ1  + 0,25 δ2 + 0,25 δ10  

Pc = fL 

gdzie         

α1 = ⅓   α2 = ⅔

wyznaczyć    Px

rozwiązanie :

    Px = ⅓(0,5 δ1  + 0,25 δ2 + 0,25 δ10) + ⅔fL

    Px =   δ1 +  δ2 +  δ10 + gL  

gdzie                    

Przykład 6.2

Znając    Px  wyznaczyć Pd  i  Pc

Px = ⅓ δ-1+  ⅓δ1+ fL   

gdzie             

rozwiązanie:

Sprawdzamy czy Px(R)=1

Px(R)=  ⅓ + ⅓ + =1

Zmienna losowa X ma rozkład mieszany gdzie  Pd = p1δ-1 +  p2δ1      

przy spełnionych warunkach   p1+ p2  = 1   oraz    p1p2>0 ,

zachodzi ponadto   ⅓ = α p1

                            oraz   ⅓ = α p2       gdyż Px = αPd + α1Pc

Z warunków tych otrzymujemy    α = ⅔

                                                        oraz              p1 =  ½

                                                                      p2  = ½

Co daje    Pd = ½δ-1 +  ½δ1  a ponieważ    α + α1 = 1 mamy α1 = ⅓  więc f = α1g

i otrzymujemy  g = 3f   stąd Pc ma postać Pc =  gL  gdzie

DYSTRYBUANTA

Df 6.2 (dystrybuanta)

Dystrybuantą  miary μ nazywamy funkcję Fμ : R→R taką , że   Fμ(x) = μ((-∞,x))

Df 6.3 (dystrybuanta dla μ równego Px )

Niech (R,B(R), Px) przestrzeń probabilistyczna

X:  Ω→R (zmienna losowa)

Dystrybuantę zmiennej losowej X nazywamy dystrybuantę miary Px

Dystrybuanta: Fx(x) R→R        Fx(x) = Px((-∞,x)) = P(X<x) =

Dystrybuanta rozkładów dyskretnych

Rozkład dyskretny Px =   X(Ω) = K = {x1,......, xn}  ( lub K = {x1,......, xn,.....} )

Wtedy dystrybuanta tego rozkładu ma postać Fx(x) = Px((-∞,x)) = ∑ piδxi((-∞,x)) =

Przykład 6.3

Znaleźć dystrybuantę rozkładu Px = 0,2 δ2  + 0.,3 δ1 + 0,4δ9 + 0,1 δ10

Dystrybuanta rozkładu ciągłego

Px = fL  

Fx(x) = Px((-∞,x)) = (fL) ((-∞,x)) =

Przykład 6.4

Px = fL                  

  0        x ≤ 1              ∈                           

Fx(x) =

Własności dystrybuanty dowolnej zmiennej losowej

a)      lim Fx(x) = 0

                x→ -∞

b)     lim Fx(x) = 1

        x→ ∞

c)      Fx jest funkcją niemalejącą

d)     Fx jest lewostronnie ciągła

e)      zbiór punktów nieciągłości jest skończony lub przeliczalny

Oznaczenie   oznaczamy jako Fx(xo + 0)

Tw 6.2

Każda funkcja F : R→R  spełniająca  warunki  a) – e) jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej.    

Tw 6.3

Jeżeli funkcja F : R→R  spełniająca  warunki  a) – e) jest funkcją schodkową taką , że dla punktów nieciągłości N = {x1,......, xn} zachodzi∈ (F(xi + 0) - F(xi )) = 1, to F jest dystrybuantą pewnego rozkładu dyskretnego takiego , że Px = ∑ piδxi gdzie xi∈N oraz

pi = F(xi + 0) - F(xi ) .

Przykład 6.5

rozwiązanie :

Px =  p1δ1  + p2δ3 + p3δ5 + p4δ7

p1 =  Fx(1 + 0) - Fx(1) = 0,2

p2 =  Fx(3 + 0) - Fx(3) = 0,2

p3 =  Fx(5 + 0) - Fx(5) = 0,3

p4 ...