runge.pdf

Przenoszenie siƒ b“ƒd ó w - wstƒp

Poni»szy tekst pochodzi z ksi¡»ki Metody numeryczne Bj ö rcka i Dah-

lquista.

Metody, kt ó re bƒdziemy rozpatrywa¢, tworz¡ krok po kroku przybli»enia

y 1 , y 2 , ::: warto–ci dok“adnych y ( x 1 ), y ( x 2 ), ::: z grubsza tak samo, jak

metoda Eulera. Przez metodƒ jednokrokow¡ rozumiemy tak¡ metodƒ, w

kt ó rej obliczaj¡c y n +1 ( n =0 ; 1 ;::: )korzysta siƒ tylko z y n . W ka»dym

kroku wprowadza siƒ ma“e zaburzenie - b“ƒdy obciƒcia lub b“ƒdy zaokr¡gle«

- powoduj¡c podobne przej–cia na inne elementy rodziny rozwi¡za«. (...)

Mo»na por ó wna¢ ten proces z narastaniem odsetek; w ka»dym kroku do“¡cza

siƒ odsetki , kt ó rymi s¡ pope“nione b“ƒdy. W tym samym czasie powstaje

nowy kapita“ b“ƒdu . Stopa procentowa mo»e by¢ jednak ujemna, co tu

jest korzystne!

Je–li poszczeg ó lne rozwi¡zania oddalaj¡ siƒ szybko jedno od drugiego,

to zagadnienie pocz¡tkowe jest „le uwarunkowane; w przeciwnym razie jest

dobrze uwarunkowane.(...)

Nale»y rozr ó »ni¢ b“ƒdy obciƒcia globalne i lokalne. B“ƒdem globalnym

w punkcie x n +1 jest r ó »nica y n +1 ¡y ( x n +1 ), gdzie y ( x )jest dok“adnym roz-

wi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego. B“ƒdem lokalnym w x n +1 jest r ó »nica

miƒdzy obliczon¡ warto–ci¡ y n +1 i warto–ci¡ w x n +1 tego rozwi¡zania r ó wna-

nia r ó »niczkowego, kt ó re przechodzi przez punkt( x n ;y n ). Inaczej m ó wi¡c,

b“ƒdy lokalne s¡ skokami na krzywej schodkowej. (...)

W r ó wnaniach r ó »niczkowych zasady przenoszenia siƒ b“ƒd ó w s¡ bardziej

z“o»one; jednak i tu w wyra»eniach asymptotycznych dla b“ƒd ó w wyk“ad-

nik przy podstawie h jest dla b“ƒdu globalnego o 1 mniejszy ni» dla b“ƒdu

lokalnego.

Metody Rungego-Kutty

Przypu–¢my, »e znamy y ( x n )i chcemy wyznaczy¢ przybli»enie y n +1 war-

to–ci y ( x n + h ). Pomys“ zastosowany w metodach Rungego-Kutty polega na

obliczeniu warto–ci f ( x;y )w pewnych szczeg ó lnie dobranych punktach le»¡-

cych w pobli»u krzywej rozwi¡zania w przedziale( x n ;x n + h )i na utworzeniu

takiej kombinacji tych warto–ci, kt ó ra z dobr¡ dok“adno–ci¡ daje przyrost

y n +1 ¡y n .

Najprostszy wariant nazywa siƒ metod¡ Heuna. Oblicza siƒ tu warto–ci

k 1 = hf ( x n ;y n ) ;

k 2 = hf ( x n + h;y n + k 1 ) ;

y n +1 = y n + 1

2 ( k 1 + k 2 ) :

Najbardziej znana metoda Rungego-Kutty jest okre–lona podanymi ni»ej

wzorami (funkcjƒ f oblicza siƒ czterokrotnie w ka»dym kroku):

k 1 = hf ( x n ;y n ) ;

k 2 = hf ( x n + 1

2 h;y n + 1

2 k 1 ) ;

k 3 = hf ( x n + 1

2 h;y n + 1

2 k 2 ) ;

(1)

k 4 = hf ( x n + h;y n + k 3 ) ;

y n +1 = y n + 1

6 ( k 1 +2 k 2 +2 k 3 + k 4 ) :

Metody Rungego-Kutty s¡ oparte na przybli»aniu tej ca“ki za pomoc¡ do-

stƒpnych danych. W szczeg ó lnym przypadku, gdy f nie zale»y od y , metoda

Heuna jest identyczna z wzorem trapez ó w dla ca“kowania numerycznego, z

b“ƒdem globalnym obciƒcia rzƒdu h 2 .

Metoda Rungego-Kutty opisana wzorami (1) jest, gdy funkcja f nie zale»y

od y , identyczna z wzorem Simpsona z h zmienionym na 1 2 h :

Z x n + h

f ( x ) dx = 1

6 h ( f ( x n )+4 f ( x n + 1

2 h )+ f ( x n + h )) :

x n

Istotnie:

k 1 = hf ( x n ) ; k 2 = k 3 = hf ( x n + 1

2 h ) ; k 4 = hf ( x n + h ) :

W tym przypadku, jak i dla innych funkcji f , b“¡d globalny obciƒcia jest

rzƒdu h 4 .

Istnieje wiele metod Rungego-Kutty o r ó »nych zaletach. Mo»na np. osi¡-

gn¡¢ dok“adno–¢ rzƒdu pi¡tego, obliczaj¡c sze–ciokrotnie funkcjƒ f w jednym

kroku.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: