Ćw. nr: 27
Wyznaczanie indukcyjności i pojemności kondensatora w obwodzie prądu zmiennego
1.Wstęp teoretyczny.
Prąd elektryczny jest to zjawisko fizyczne wywołane uporządkowanym ruchem ładunków elektrycznych przez badany przekrój poprzeczny danego ośrodka. Przepływ prądu elektrycznego wywołuje zjawiska: magnetyczne, cieplne, chemiczne, mechaniczne, świetlne i inne za pośrednictwem których poznaje się istnienie prądu elektrycznego.
Rozróżnia się m. inn. prąd elektryczny:
· stały - prąd jednokierunkowy , którego natężenie nie ulega zmianie w fumkcji czasu
· zmienny - w funkcji czasu zmienia się natężenie lub zwrot.
Jeśli w przypadku prądu zmiennego zmiany zachodzą okresowo , to prąd taki nazywa się przemiennym , a wartość średnia całookresowa natężenia pr\ądu równa się zeru.
i śr (t) = (1/ T) ò i (t)dt = 0
gdzie: T - okres zmian prądu - czas , w którym prąd wykonuje jeden cykl zmian.
Najprostszym i najczęściej spotykanym prądem elektrycznym przemiennym jest prąd sinusoidalny, którego przebieg jest sinusoidalną funkcią czasu.
i(t) = Im sin(wt + j)
gdzie: i(t) - wartość chwilowa natężenia prądu.
Im - wartość szczytowaprądu.
w - pulsacja (częstość kątowa) w = 2pf ; f - częstotliwość
j - faza początkowa (początkowy kąt fazowy) - wielkość ta pozwala określić wartość prądu w chwili początkowej , tj. w chwili od której rozpoczęto rozpatrywać przwbieg danej wielkości.
Prąd przemienny charakteryzują również takiewielkości jak wartość średnia prądu oraz wartość skuteczna.
Wartość skuteczną określa poniższy wzór:
ISK = Ö (1/T) ò i2 (t)dt
Interpretacja fizyczna wartości skutecznej prądu przemiennego jest następująca::
Wartość skuteczna natężenia prądu, jest to wartość liczbowo równa takiej wartości prądu stałego, który w tym samym czasie i na tym samym oporze wydzieli taką samą ilość ciepła.
Wartość średnia całookresowa prądu przemiennego jest równa zero, dlatego podaje się wartość średnią pólokresową. Wartość tę można policzyć ze wzoru:
IŚR = (1/p) 0òp/2 i(t)dt
Wartość średnia półokresowa prądu przemiennego jest równa takiej ilości prądu stałego który w tym samym czasie (połowie okresu) przeniesie taki sam ładunek co dany prąd przemienny.
Rozpatrując obwody prądu elektryczneg , możemy wyróżnić następujące elementy tych obwodów : odbiorniki o oporności czynnej i biernej. Do pierwszej grupy zaliczamy m. inn. rezystory , do drugiej zaś cewki i kondensatory.
Odbiornik o oporności czynnej to takie odbiorniki których indukcyjność oraz pojemność jest znikomo mała i można ją pominąć.
Prąd przepływający przez taki odbiornik wyrazi równanie:
i = Im sin wt
Spadek napięcia u na opornośći czynnej R przy jej niezmiennej wartości jest tym większy , im większa jest wartośc przepływającego prądu, więc chwilowe napięcie jest największe (Um) w chwili, gdy wartośc chwilowa przepływającegoprądu i jest szczytowa (Im) . Gdy prąd i = 0 , to napięcie u = 0. Napięcie i prąd na rezystancji są zgodne w fazie , osiągają w tych samych momentach swe wartości szczytowe dodatnie i ujemne oraz zerowe. Między prądem i napięciem chwilowym zachodzi związek:
u = R Im sin wt
A między wartościami szczytowymi:
Um = R Im
Napięcie doprowadzone do okładzin kondensatora o pojemności C zmienia się sinusoidalnie , tj. wg równania:
u = Um sinwt
Prąd jaki będzie płynął przez kondensator związany będzie z przemieszczeniem ładunku q, dlatego możemy zapisać:
i = dq/dt
korzystając z równania:
dq = C du = C Um wcoswt dt
i biorąc pod uwagę dwa ostatnie związki:
i = C wUm coswt
Mając na względzie, że:
cosa = sin(a+p/2)
otrzymujemy:
i = CwUmsin(wt+p/2)
Rownanie to wskazuje , że przepływający przez pojemność prąd zmienny ma natężenie o przebiegu sinusoidalnym , które wyprzedza napięcie o kąt 90 0. Szczytowa wartość natężenia prądu wynosi:
Im = CwUm , a dla wartości skutecznych : I = CwU
Kondensator przewodzi prąd zmienny . Stanowi on dla prądu zmiennego pewną oporność, której wartość wyraża się stosunkiem wartości skuyecznej napięcia U do prądu I. Oporność tę nazywa się opornością bierną poemnościową i oznacza XC .
Xc = U/I = 1/wC = 1/ (2pfC)
Jeżeli do żródła prądu stałego o napięciu U przyłączymy cewkę o indukcyności L o wielu zwojach z przewodu o znikomo małejm oporności , to przez taką zwjnicę mógłby teoretycznioe płynąć prąd o bardzo dużym natężeniu ograniczonym tylko opornością wewnętrzną żródła.
Jeżeli tą samą cewkę pozbawioną oporności czynnej przyłączymy do żródła prądu zmiennego, to okaże się , że natężenie tego prądu będzie ograniczone. Prąd w obwodzie ogranicza siła elektromotoryczna indukcji własnej eL , której wartości są zależne od współczynnika indukcyjności własnej L zwojnicy i od szybkości zmian strumienia , a więc częstotliwości zmian prądu przepływającego przez uzwojenie cewki w myśl zależności:
eL = - z df/dt lub eL = - L di/dt
Gdy przez indukcyjnośc przepływa prąd zmienny , to wartość chwilową tego prądu wyraża równanie:
i = Im sinwt
Spadek naięcia uL na indukcyjności równoważy siłę elektromotoryczną indukciji własnej. Można to zapisać następuąco:
uL = -eL
Podstawiając za eL równanie drfiniujące s.e.m. samoindukji oraz różniczkując wyrażenie na wartość chwilową prądu otrzymamy:
uL = - eL = L di/dt = LwIm coswt = LwImsin(wt + p/2)
Z powyższego równamia wynika , że napięcie doprowadzone do zacisków idealnej cewki wyprzedza prąd o 90 0.
Bezwzględna wartość szczytowa napięcia na indukcyjności jest równa szczytowej wartości s.e.m. indukcyjności własnej:
Um = Em = LwIm , A wartość skuteczna U = E = LwI
Ze wzoru wyrażającego zależność między wielkościami skutecznymi U , I i pulsacją w prądu przepływającego , oraz indukcyjnością L odbiornika określamy tzw. oporność bierną indukcyjną XL
XL = U/I = wL = 2pfL
Szeregowy obwód RLC składa się z szeregowo połączonych : rezystancji , indukcyjności i pojemności. Napięcie chwilowe między zaciskami zewnętrznej części takiego układu jest sumą algebraiczną napięć na poszczególnych częściach obwodu
u = uR + uL + uC
Wartość skuteczna napięcia doprowadzonego do zacisków układu jest suma geometryczną napięć składowych UL , UR , UC . Należy pamiętać o tym że napięcia UL i UC są przesunięte w fazie względem napoęcia UR odpowiednio o + 90 0 i - 90 0. Poniższy rysunek przedstawia wykres wskazowy dla takiego przypadku:
U = Ö (IR)2 + (IXL - IXC)2 = I Ö R2 + (XL - XC)2
Wyrażenie pod pierwiastkiem nazywa się opornościaą pozoną (impedancją) i często oznacza się literą Z
Jest to pierwastek z sumy kwadratów oporności czynnej i biernej , gdzie oporność bierna jest sumą geometryczną oporności biernej pojemnościowej i oporności biernej indukcyjnej występujących w obwodzie.
Obwody zasilane prądem zmiennym , zawierające elementy czynne i bierne powodują przesunięcia fazowe pomi®dzy prądem a napięciem. Kąt przesunięcia fazowego jest określony przez arctg stosunku oporności biernej od oporności czynnej:
j = arctg (XL - XC)/R
Wzór wyrażający zależność między natężeniem prądu a napięciem :
wyraża w najogólniejszej postaci prawo Ohma dla odcinka lub części zewnętrznej obwodu prądu przemiennego zawierającego oporność czynną i bierną .
lukaszzychzych