transF.pdf

TRANSFORMATAFOURIERA

1.1WzórcałkowyFouriera

Wzórtenwykorzystujemydoanalizyfunkcjinieokresowych;funkcje

temog¡opisywa¢np.przebiegieleektryczne.Najpierwsformułujmy

tzw.warunkiDirichleta.

Funkcjaf(x)spełnia warunkiDirichleta gdy:

1.dziedzin¦f(x)mo»narozło»y¢nasko«czon¡sum¦przedziałów,w

którychf(x)jestmonotonicznaici¡gła

2.wka»dympunkcienieci¡gło±cix 0 ,granicejednostronnelim x!x − 0 f(x)

ilim x!x + 0 f(x)s¡sko«czone.

Twierdzenie1(wzórcałkowyFouriera)

Je±lif(x)spełnianaka»dymprzedzialesko«czonym(a,b)warunki

Dirichletai R 1

−1 |f(x)|<1towzór

Z 1

f(x)=

(a(!)cos(!x)+b(!)sin!x)d! (1)

gdzie

Z 1

a(!)= 1

f(t)cos!tdt, b(!)= 1

f(t)sin!tdt,(2)

−1

zachodziwewszystkichpunktach,wktórychf(x)jestci¡gła.

Wka»dympunktcienieci¡gło±cix 0 funkcjif(x)całkapoprawej

stroniewzorujestrówna 1 2 (f(x + 0 )+f(x − 0 )).

Je±lif(x)jestfunkcj¡parzyst¡tob(!)=0oraza(!)= 2 R 1

0 f(t)cos!tdt,

Je±lif(x)jestfunkcj¡nieparzyst¡toa(!)=0orazb(!)= 2 R 1

0 f(t)sin!tdt.

Wykorzystuj¡cwzoryEulera,to»samo±citrygonometryczneorazto,

»edlafunkcjih(x)=r(x)+ip(x)zmiennejrzeczywistejxmamy

R d

c h(x)dx= R d

c r(x)+i R d

c p(x),mo»emyrównanie(1)zapisa¢w

wygodnejpostacitzw. zespolonegowzorucałkowegoFouriera

e i!x Z 1

−1

Z 1

f(x)= 1

f(t)e −i!t dt

d! (3)

−1

Wostatnimwzorze,któryprzedstawiafunkcj¦f(x)zapomoc¡iterowanej

całkiniewła±ciwej,całkaniewła±ciwazewn¦trznapozmiennej!jest

cz¦±ci¡głown¡całki.Cz¦±¢głowna R 1

−1 g(!)d!tolim T!1 R T −T g(!)d!.

Przykład1

Napisa¢wzórcałkowyFourieradlafunkcji

cosx,gdy|x| 2

0gdy|x|> 2 .

f(x)=

Przykład2

Przedstawi¢funkcj¦f(x)=e −x ,gdyx>0zapomoc¡sinusowego

wzorucałkowegoFouriera.

Przykład3

Napisa¢zespolonywzórcałkowyFourieradlafunkcji

c,gdy|x|<a

2 ,gdy|x|=a

0gdy|x|>a.

Wykorzystuj¡ctenwzóruzasadni¢,»e R 1

f(x)=

sinx

x dx= 2 .

1.2TransformataFouriera

Deﬁnicja1.2

Niechfunkcjaf(x)spełniazało»eniatwierdzenia1.Funkcj¦

Z 1

ˆ f(!)=

f(t)e −i!t dt,!2(−1,1)

−1

nazywamy transformat¡Fourierafunkcjif(x) .

Przykład4

Wyznaczy¢transformat¦Fourierafunkcji

1,gdyx2[0,1]

0gdyx/2[0,1].

a)f(x)=

e −x ,gdyx>0

0gdyx<0.

b)f(x)=

c)f(x)=e −c|x| ,x2R,c>0.

d)f(x)=e −x 2 ,x2R

Zauwa»my,»enapodstawiewzoru(3)mamypar¦przekształce«

Z 1

e −i!t f(t)dt, f(x)= 1

ˆ f(!)=

e i!x ˆ f(!)d!(4)

−1

Teprzekształceniacałkoweustanawiaj¡wzajemniejednoznaczn¡odpowiednio±¢

mi¦dzyfunkcjamif(x)i ˆ f(!).Dlategote»przyjmijmyoznaczenia

ˆ f(!)= F [f(x)], f(x)= F −1 [ ˆ f(!)].

Funkcj¦f(x)nazywamyte» transformat¡odwrotn¡Fouriera

funkcji ˆ f(!) .

Funkcj¦ ˆ f(!)nazywamy widmem (charakterystyk¡widmow¡)funkcji

f(x).Ponadtoje±li ˆ f(!)zapiszemywpostaci

ˆ f(!)

e i(!) , (!)2[−,]

ˆ f(!)=

nazywamy widmemamplitudowym funkcjif(x),

a(!)nazywamy widmemfazowym funkcjif(x).

ˆ f(!)

Widmoamplitudowejestfunkcj¡parzyst¡zmiennej!,!2R..

Ponadtogdymamy

ˆ f(!)=(a(!)−ib(!))to

ˆ f(!)

= p a 2 (!)+b 2 !).

ˆ f(!)

>0to

Widmofazowejestokresoweigdy

cos((!))= a(!)

orazsin((!))= −b(!)

ˆ f(!)

Widmofazowejestnieparzyst¡funkcj¡zmiennej!.

Dlacos((!))=−1orazsin((!))=0przyjmujemy(!)=·sgn(!).

Przykład5

Znale¹¢inarysowa¢widmoamplitudoweorazwidmofazowedlafunkcji

opisanejwprzykładzie4b).

1.3.Własno±citransformatyFouriera

Twierdzenie2

Je±lifunkcjef 1 (x)orazf 2 (x)spełniaj¡zało»eniatwierdzenia1,

c 1 ,c 2 s¡dowolnymiliczbamito

F [c 1 f 1 (x)+c 2 f 2 (x)]=c 1 F [f 1 (x)]+c 2 F [f 2 (x)].

Twierdzenie3

Je±lifunkcjaf(x),spełniazało»eniatwierdzenia1orazx 0 2Rto

F [f(x−x 0 )]=e −i!x 0 F [f(x)].

Przykład6

Wyznaczy¢transformatyFourierapodanychfunkcji,wykorzystuj¡ctwierdzenia

owłasnosciachtransformat:

2+3cosx,gdy|x| 2

0gdy|x|> 2 .

a)f(x)=

b)f(x)=e −2|x+4| ,x2R.

Twierdzenie4

Je±lifunkcjax n f(x),n2Nspełniazało»eniatwierdzenia1

oraz F [f(x)]= ˆ f(!)to

d k

d! k ˆ f(!)=(−i) k F [x k f(x)],k=1,2,...,n

Twierdzenie5

Je±lifunkcjaf(x)ijejpochodnef (n) (x) k=1,2,...,nspełniaj¡

zało»eniatwierdzenia1,s¡funkcjamici¡głymi

orazlim x!−1 f (k) (x)=lim x!1 f (k) (x)=0dlak=1,2,...,n−1to

F [f (n) (x)]=(i!) n F [f(x)].

Przykład7

Wyznaczy¢transformatyFourierapodanychfunkcji,wykorzystuj¡ctwierdzenia

owłasnosciachtransformatoraztabel¦transformat:

x,gdy|x|<2

1,gdy|x|=2

0,gdy|x|>2.

a)f(x)=

xe −x ,gdyx>0

0gdyx<0.

b)f(x)=

x n e −x ,gdyx>0

0,gdyx<0.

c)f(x)=

d)f(x)=2xe −x 2 ,x2R

1−|x−2|,gdy|x−2|<1

0,gdy|x−2|>1.

e)f(x)=

f)f (5) (x),gdyf(x)=xe −x ,x>0

g)f (3) (x),gdyf(x)=e −4x 2

TabelatransformatFourieraniektórychfunkcji

f(x)

f(!)

1,gdy|x|<a

0gdy|x|>a.

2sina!

1,gdy0<x<1

0,poza

sin!

! + i ! (cos!−1)

1−|x|,gdy|x|<1

0,gdy|x|>1

! 2 (1−cos!)

e −cx ,x>0,c>0

i!+c

e −c|x|

! 2 +c 2

e −x 2 p e −! 2

2cos 2 !

cosx,|x|< 2

1−! 2 )

1+x 2 e −|!|

(x) 1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: