POCHODNA:
Niech będzie przedziałem otwartym i funkcja
Jeśli dla pewnego istnieje skończona granica ilorazu różnicowego
to mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x0. Z kolei punkt
nazywamy punktem różniczkowalności funkcji f. Wartość powyższej granicy nazywamy
pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem Czasem używa się też
symboli:
PRZYKŁAD:
POCHODNA CZĄSTKOWA: Niech U będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej
Jeżeli istnieje skończona granica
to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji f w punkcie a względem zmiennej ak i oznacza
jednym z wyżej wymienionych symboli
TWIERDZENIE O POCHODNEJ FUNKCJI ODWROTNEJ: Twierdzenie o pochodnej funkcji
odwrotnej Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła i ściśle monotoniczna w przedziale X oraz
różniczkowalna w pewnym punkcie x0∈X, to funkcja do niej odwrotna x = g(y) jest
różniczkowalna w punkcie y0 = f(x0) i g'(y0) =1/f'(x0) , gdy f '(x0) ≠ 0.
TWIERDZENIE O POCHODNEJ FUNKCJI ZŁOŻONEJ: Jeżeli funkcja u = g(x) ma w punkcie x0
pochodną g'(x0) oraz funkcja y = f(u) ma w odpowiednim punkcie u0 = g(x0) pochodną
f '(u0), to funkcja złożona y = f(g(x)) ma w punkcie x0 pochodną określoną wzorem
y' = f '(g(x0))g'(x0).
Tika02