TWIERDZENIE LAGRANGEA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ:
1)Twierdzenie: Jeśli dana funkcja jest: ciągła w przedziale [a,b],
różniczkowalna w przedziale (a,b), to istnieje taki punkt taki, że:
2)Interpretacja geometryczna: Geometrycznie twierdzenie Lagrange'a oznacza,
że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu do punktu
istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej
między punktami i
Na rysunku współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie
wynosi f'(c). Na mocy twierdzenia Lagrange'a jest on równy:
WARTOŚĆ ŚREDNIA: Twierdzenie Lagrange'a zapisane w postaci
mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów b i a wyraża się przez przyrost wartości zmiennej i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między a i b – stąd właśnie nazwa twierdzenia.
DOWÓD: , mamy wtedy:
oraz
wiec:
czyli funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle'a, a zatem istnieje punkt
taki, ze: z drugiej strony mamy stad:
. Dlatego też
Tika02