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Kapitel 3
Hamiltonsche Mechanik
Das Lagrange-Formalismus liefert uns die Bewegungsgleichungen in der Form von
einem System von Differentialgleichungen zweiter Ordnung fur verallgemeinerte Ko-
¨
ordinaten. Solches System beschreibt das physikalische System zwar vollstandig, ist
¨
aber nicht so gunstig fur Untersuchungen:
¨
¨
1) Das System hat nicht die Form
x
i
=
F
i
(x) eines Systems von 2n Differential-
˙
gleichungen erster Ordnung.
2) Es ist nicht einfach, die Erhaltungsgr¨ße zu nutzen, weil die Grade des System
o
wird nicht gleich reduziert werden.
3) Die Lagrangefunktion hat keine direkte physikalische Bedeutung, deshalb ist
dieses Konzept an Experimentatoren schwer vermittelbar.
Alle diese Nachteile werden im Hamiltonformalismus bew¨ltigt. Eigentlich wird
a
dieses Formalismus in 4/5 theoretischer Physik benutzt, insbesondere in der Quan-
tenmechanik und in der statistischen Physik.
Wir fangen mit dem Ziel an, das System Differentialgleichungen 1. Ordnung zu
schreiben. Weil die Lagrangegleichungen lauten
∂L
d ∂L
=
p
i
=
˙
dt ∂ q
i
˙
∂q
i
die Idee ist, der verallgemeinerte Impuls
p
i
als unabh¨ngige Koordinate zu nehmen.
a
Falls wir auch die verallgemeinerten Geschwindigkeiten
q
i
zugunsten der verallge-
˙
meinerten Impulse eliminieren, konnen wir ein System von Differentialgleichungen
¨
1. Ordnung erhalten. Manchmal ist die Beziehung zwischen Geschwindigkeiten und
Impulsen einfach (p =
mq),
aber wir sollen ein Rezept fur alle F¨lle haben. Dies
˙
a
¨
wird mit Hilfe der Legendre-Transformation gemacht.
1
3.1
Hamiltonsche Gleichungen
Wir berechnen das volle Differential von der Lagrange Funktion
L
=
L(q, q, t), q
=
˙
q
1
, . . . , q
s
:
s
s
∂L
∂L
∂L
dL
=
dq
i
+
dq
i
+
˙
dt.
∂q
i
∂ q
i
˙
∂t
i
i
∂L
Bei Definition
∂ q
i
=
p
i
, wobei
p
i
sind die verallgemeinerte Impulse und
˙
nach der Lagrange Gleichung. Dann schreiben wir
∂L
∂q
i
=
p
i
˙
dL
=
Wir benutzen jetzt dass
p
i
dq
i
+
˙
p
i
dq
i
+
˙
∂L
dt.
∂t
d(p
i
q
i
) =
dp
i
q
i
+
p
i
dq
i
˙
˙
˙
und schreiben den zweiten Term um:
dL
=
d(L
−
Die Funktion
H(p, q, t)
=
p
i
dq
i
+
˙
p
i
q
i
) =
˙
d(p
i
q
i
)
−
˙
p
i
dq
i
−
˙
dp
i
q
i
+
˙
dp
i
q
i
+
˙
∂L
dt.
∂t
∂L
dt.
∂t
p
i
q
i
−L
heisst die
Hamilton Funktion.
Wir bekommen
˙
p
i
dq
i
+
˙
q
i
dp
i
−
˙
∂L
dt.
∂t
dH
=
−
Das Differential von
H
k¨nnen wir auch so schreiben:
o
dH
=
∂H
dq
i
+
∂q
i
∂H
∂H
dt.
dp
i
+
∂p
i
∂t
Aus dem Vergleich von Koeffizienten bekommen wir das Gleichungssystem
p
i
=
−
˙
∂H(q, p, t)
,
∂q
i
q
i
=
˙
∂H(q, p, t)
.
∂p
i
Die Gleichungen heißen
Hamiltonsche bzw. kanonische Gleichungen.
Die Ko-
ordinaten und Impulse bezeichnet man als kanonische Variablen.
Den Ausdruck (
p
i
q
i
−
L)
haben wir schon gesehen: Das ist genau die verallge-
˙
meinerte Energie, die erhalten bleibt, falls die Lagrangefunktion zeitunabh¨ngig ist.
a
Also die physikalische Bedeutung der Hamiltonfunktion ist klar: das ist die Energie,
2
die als Funktion von verallgemeinerten Koordinaten und Impulsen geschrieben ist.
Zeigen wir jetzt, daß der Wert der Hamiltonfunktion erhalten ist, wenn die Funktion
nicht explizit von der Zeit abh¨ngig ist:
a
dH
=
dt
s
i
∂H
∂H
∂H
p
i
+
˙
q
i
+
˙
=
∂p
i
∂q
i
∂t
s
i
−
∂H ∂H
∂H ∂H
+
∂p
i
∂q
i
∂q
i
∂p
i
+
∂H
∂H
=
∂t
∂t
Es ist zu betonen, daß die Hamiltonfunktion eine Funktion der kanonischen Variablen
sein muß (z.B.
H(q, q, t)
ist
keine
Hamiltonfunktion).
˙
Beispiel 3.1
Teilchen in einem Potential
L
=
m
2
(
x
+
y
2
+
z
2
)
−
V
(x,
y, z)
˙
˙
˙
2
Der verallgemeinerte Impuls ist
p
x
=
mx,
˙
und die Hamiltonfunktion lautet
H
=
1
2
(p
x
+
p
2
+
p
2
) +
V
(x,
y, z)
y
z
2m
p
y
=
my,
˙
p
z
=
mz
˙
Beispiel 3.2
Teilchen im elektromagnetischen Feld
L
=
Der verallgemeinerte Impuls ist
e
p
i
=
mq
i
+
A
i
,
˙
c
Wir setzen also
in die Hamiltonfunktion ein:
e
2
˙
−
L
=
p
(p
−
e A)− m
( 1 (p
−
e A))
2
+
eΦ
−
e
1 (p
−
e A)A
= (p
−
c
A)
+
eΦ
H
=
pq
m
c
2
m
c
cm
c
2m
e
˙
m
˙
2
q
−
eΦ
+ (
q A)
2
c
˙
e
p
=
mq
+
A
c
e
1
˙
q
= (p
−
A)
m
c
3
Legendre-Transformation
¨
Mathematisch gesehen, ist der Ubergang von
L(q, q, t)
zu
H(p, q, t)
die
Legendre-
˙
Transformation.
Sei
f
(x) eine Funktion, dann die neue Funktion
g(p)
bekommt man
durch
df
g(p)
=
px
−
f
(x),
wobei
p
=
.
dx
Weil
p
von
x
abh¨ngig ist, k¨nnen wir die Gleichung nach
x
ableiten
a
o
dg dp
dp
df
=
x
+
p
−
dp dx
dx
dx
Also erhalten wir
x
=
dg
dp
Das heißt, daß die Legendre-Transformation vollig symmetrisch ist
¨
g(p)
+
f
(x) =
px,
x
=
dg
,
dp
p
=
df
dx
In anderen Worten, zwei mal angewandte Legendre-Transformation ist die identische
Transformation.
Die Legendre-Transformation wird in der statistischen Physik viel benutzt. Hier
¨
verwenden wir sie zum Ubergang von Geschwindigkeit zum Impuls. Wir schreiben
f
(x)
↔
L(q, q, t)
˙
x
↔
q
˙
∂L
df
↔
p
=
p
=
dx
∂q
˙
g(p)
=
px
−
f
(x)
↔
H(p, q, t)
=
pq
−
L(q, q, t)
˙
˙
Beispiel 3.3
Quadratische Funktion
f
(x) =
ax
2
⇒
p
= 2ax
⇒
p
x
=
2a
⇒
p
2
g(p)
=
px
−
f
(x) =
4a
Warum vollzieht man die Variablentransformation nicht einfach “durch Einsetzung”?
Das kann man klarmachen wenn mann die Transformation und die Einsetzung f¨r
u
2
und
a(x
+
b)
2
vergleicht.
zwei Funktionen
ax
4
Einsetzung f¨r
f
(x) =
ax
2
:
u
df
p
=
= 2ax
dx
Einsetzung f¨r
f
(x) =
a(x
+
b)
2
:
u
p
x
=
2a
p
2
g(p)
=
4a
p
2
g(p)
=
4a
p
df
= 2a(x +
b)
x
=
−
b
p
=
dx
2a
Die Rucktransformation kann nicht eindeutig sein.
¨
Legendre-Transformation f¨r
f
(x) =
ax
2
:
u
p
2
g(p)
=
px
−
f
(x) =
4a
Legendre-Transformation f¨r
f
(x) =
a(x
+
b)
2
:
u
p
p
2
p
2
g(p)
=
px
−
f
(x) =
p(
−
b)
−
a(
) =
−
pb .
2a
2a
4a
Die Legendre Transformation ist eindeutig, weil die Einsetzung ist es nicht.
3.1.1
Erhaltungsgr¨ßen
o
Wenn die Hamiltonfunktion nicht von einer kanonischen Koordinate
q
i
abh¨ngt, ist
a
der entsprechende Impuls erhalten:
p
i
=
−
˙
∂H
=0
,
∂q
i
p
i
=
const
Man kann dann die Hamiltonfunktion als Funktion von 2s
−
2 unabh¨ngigen Va-
a
riablen betrachten. Das heißt, eine Erhaltungsgr¨ße fuhrt unmittelbar zur Verein-
o
¨
fachung des Systems. W¨re die Hamiltonfunktion von
s
Koordinaten unabh¨ngig,
a
a
k¨nnte man das Problem einfach l¨sen: die kanonischen Impulse sind zeitunabh¨ngig,
o
o
a
und die kanonische Koordinaten sind lineare Funktionen von Zeit.
3.1.2
Einfache Beispiele
Das Hamilton-Formalismus lasst sich in dem folgenden Schema zusammenfassen:
¨
1. Generalisierte Koordinaten festlegen:
q
= (q
1
, . . . , q
s
)
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin