Urbański P - Równania Rózniczkowe Cząstkowe.pdf - CHEMIA CHEMISTRY ХИМИЯ - antonif

RÓWNANIA RÓNICZKOWE CZSTKOWE 2011/2012

Pawel Urbanski

Division of Mathematical Methods in Physics

University of Warsaw

Hoza 74, 00-682 Warszawa

(1) Wst¦p

(2) Równania pierwszego rz¦du geometrycznie.

(3) Twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej.

(4) Twierdzenie o jednoznaczno±ci Holmgrena.

(5) Rozchodzenie si¦ nieci¡gło±ci.

(6) Równanie falowe jako przykład równania hiperbolicznego.

(7) Zagadnienie pocz¡tkowe a hiperboliczno±¢. Warunek G ardinga

(8) Równania paraboliczne na przykładzie równania przewodnictwa cieplnego.

(9) Równania Laplace’a i Poissona klasycznie.

(10) Fakty z analizy funkcjonalnej. Przestrzenie Sobolewa.

(11) Zagadnienia eliptyczne metod¡ bezpo±redni¡.

1. Wst¦p.

Równania ró»niczkowe na pewien obiekt geometryczny s¡ warunkami na inﬁnitezymalne

(cokolwiek miałoby to znaczy¢) ’cz¦±ci’ obiektu. Na ogół obiektami tymi s¡ odwzorowania.

We¹my dla przykładu odwzorowania :R ! M, gdzie M jest rozmaito±ci¡ ró»niczkow¡.

Inﬁnitezymalnum kawałkiem krzywej jest wektor styczny jakiego± rz¦du. Zatem równaniem

ró»niczkowym rz¦du k na krzywe jest podzbiór D k-tej wi¡zki stycznej T k M. Krzywa jest

rozwi¡zaniem równania, je»eli dla ka»dego t 2R k-ty wektor styczny krzywej t k (t) nale»y

do D. Standardowe równanie dostajemy, je»eli D = G −1 (0) dla pewnej funkcji G: M !R.

Zamiast krzywych, mo»emy rozpatrywa¢ odwzorowania z jednowymiarowej rozmaitoci N w

M, lub po prostu jednowymiarowe podrozmaito±ci w M. Trzeba tylko wyja±ni¢, co oznacza

’inﬁnitezymalny kawałek’. Równania, które wymienili±my s¡ równaniami ró»niczkowymi na

obiekty jednowymiarowe. Takie równania ró»niczkowe nazywamy zwyczajnymi (ODE).

Równania ró»niczkowe cz¡stkowe (PDE) s¡ równaniami na obiekty wielowymiarowe, na

przykład na odwzorowania f: N ! M. W dalszej cz¦±ci zajmowa¢ si¦ b¦dziemy przypadkiem

M = R, czyli równaniami na funkcje.

2. Równania pierwszego rz¦du.

2.1. Bez warto±ci. Niech Q b¦dzie rozmaito±ci¡ ró»niczkow¡. Pierwsze pochodne funkcji

na Q, z pomini¦ciem warto±ci, składaj¡ si¦ na ró»niczk¦ funkcji. Zbiór wszystkich ró»niczek

stanowi wi¡zk¦ kostyczn¡ T Q. Zatem równanie ró»niczkowe cz¡stkowe pierwszego rz¦du na

funkcje na M, nie zawiera¡ce warto±ci funkcji, mo»na interpretowa¢ jako pozbiór K T Q.

Funkcj¦ f 2 C 1 (Q) nazywamy rozwi¡zaniem równania, je»eli df(Q) K. W dalszym ci¡gu

zajmowa¢ si¦ bedziemy przypadkiem, gdy K jest podrozmaito±ci¡ kowymiaru 1, poziomic¡

h(p) = e pewnej funkcji ró»niczkowalnej h: Q ! R. Równanie przyjmuje wi¦c znan¡ z

mechaniki analitycznej posta¢ równania Hamiltona-Jacobiego h(df) = e.

Opowie±¢ geometryczn¡ o takim równaniu zaczn¦ od rozpoznania struktury wi¡zki ko-

stycznej Q : T Q ! Q. Na T Q mamy kanoniczn¡ 1-form¦ Q zadan¦ wzorem

h Q ,vi = h T Q v, T Q i,

(1)

gdzie Q : TQ ! Q jest kanonicznym rzutowaniem. Forma Q nazywana jest form¡ Lio-

uville’a. Mo»na j¡ zdeﬁniowa¢ troch¦ inaczej, wskazuj¡c funkcj¦ na T Q reprezentuj¡c¡

(p) dla p 2 T Q. Niech para (q,f) reprezentuje p, tzn. p = d q f. Wówczas

Q (p) = d p Q f.

(2)

W lokalnym układzie współrz¦dnych forma Liouville’a zapisuje si¦ wzorem

Q = p dx

(3)

(sumowanie po ).

Forma Liouville’a charakteryzowana jest przez nast¦puj¡c¡ swoj¡ własno±¢.

Stwierdzenie 1. Dla ka»dej jednoformy : Q ! T Q mamy równo±¢ Q = .

Dowod: Niech v 2 T q Q, wówczas T(v) 2 T (q) T Q i

h Q ,vi = h Q , T(v)i = h(q), T M (T(v))i = h(q),vi.

Ró»niczk¦ zewn¦trzn¡ d Q formy Liouville’a nazywamy kanoniczn¡ form¡ symplektyczn¡

i oznaczamy ! Q . W lokalnym układzie współrz¦dnych mamy

! Q = dp ^ dx . (4)

W ka»dym punkcie wi¡zki kostycznej p 2 T Q forma ! Q wyznacza (tak jak ka»da forma

dwuliniowa) odwzorowanie

! Q (p): T p T Q ! T p T Q

(5)

wzorem

h! Q (p)v,wi = ! Q (v,w).

(6)

W adaptowanym układzie współrz¦dnych

v = x (v) @

@x + p (v) @

(7)

i z wyra»enia (4) dostajemy

! Q (p)v = p (v)dx − x (v)dp . (8)

Z wzoru tego wynika, »e ! Q (p) jest izomorﬁzmem przestrzeni wektorowych, a ! Q : TT Q !

T T Q izomorﬁzmem wi¡zek wektorowych.

Niech V T p T Q b¦dzie podprzestrzeni¡ wektorow¡. Przez V T T P oznaczamy

anihilator V (zbiór kowektorów zeruj¡cych si¦ na podprzestrzeni V ).

Definicja 1. Polar¡ symplektyczn¡ V § podprzestrzeni V nazywamy podprzestrze« ! − Q (V )

przestrzeni T p T Q.

Ze wzgl¦du na usytuowanie V § wzgl¦dem V wyró»niamy nast¦puj¡ce rodzaje podprze-

strzeni:

(1) V jest izotropowa je»eli V § V ,

(2) V jest koizotropowa je»eli V § V ,

(3) V jest lagran»owska je»eli V § = V ,

(4) V jest symplektyczna je»eli V § \V = {0}.

Podrozmaito±¢ N rozmaito±ci T Q nazywamy odpowiednio izotropow¡, koizotropow¡,

lagran»owsk¡ lub symplektyczn¡, je»eli w ka»dym punkcie jej przestrze« styczna jest izo-

tropowa, koizotropowa, lagran»owska lub symplektyczna.

Bezpo±rednio z deﬁnicji wynika, »e je»eli m = dim Q, to:

(1) dim N6m gdy N jest izotropowa,

(2) dim N>m gdy N jest koizotropowa,

(3) dim N = m gdy N jest lagran»owska,

(4) dim N jest liczb¡ parzyst¡ gdy N jest symplektyczna.

Zauwa»my, »e podrozmaito±¢ lagran»owska jest jednocze±nie izotropowa i koizotropowa, a

podrozmaito±¢ wymiaru jeden jest zawsze izotropowa.

Stwierdzenie 2. Podrozmaito±¢ N kowymiaru 1 jest zawsze koizotropowa.

Dowod: Mamy pokaza¢, »e (T p N) § T p N. Przypu±¢my, »e tak nie jest. Poniewa» N jest

kowymiaru 1, to (T p N) § jest wymiaru 1. Niech v b¦dzie niezerowym wektorem z (T p N) § .

Oznacza to, »e !(v,w) = 0 dla ka»dego wektora w 2 T p N. Ale !(v,v) = 0, wi¦c !(v,w) = 0

dla ka»dego w 2 T p P, co oznacza, »e !(p) = 0. Sprzeczno±¢.

Podstawowy przykład podrozmaito±ci lagran»owskiej wynika z nast¦puj¡cego stwierdze-

nia:

Stwierdzenie 3. Obraz jednoformy : Q ! T Q jest podrozmaito±ci¡ lagran»owsk¡ wtedy

i tylko wtedy, gdy jest form¡ zamkni¦t¡, tzn. d = 0.

Dowod: Ze Stwierdzenia 1 mamy Q = , a z przemienno±ci transportu formy z ró»-

niczkowaniem zewn¦trznym

! Q = d Q = d. (9)

Z drugiej strony, (Q) jest podrozmaito±ci¡ lagran»owsk¡ je±li ! Q = 0, bo wymiar (Q)

jest równy wymiarowi Q.

Zajmijmy si¦ teraz jednym równaniem, wi¦c zadanym podrozmaito±cia K T Q o

ko-wymiarze 1. Na mocy ostatniego stwierdzenia rozwi¡zanie równania zadaje podrozma-

ito±¢ lagran»owsk¡, zawart¡ w K. Rozwi¡zywanie równania mo»emy podzieli¢ na dwa etapy:

(a) znajdowanie podrozmaio±ci lagran»owskiej L, zawartej w K,

(b) szukanie ’potencjału’ dla L.

Zajmijmy si¦ etapem pierwszym. Podrozmaito±¢ K jest koizotropowa (Stwierdzenie 2),

wi¦c (TK) § tworzy na K dystrybucj¦ jednowymiarow¡. Lokalnie jest ona rozpi¦ta przez

gładkie pole wektorowe, wsz¦dzie ró»ne od zera, wi¦c trajektorie tego pola zadaj¡ (lokal-

nie) foliacj¦ K jednowymiarowymi podrozmaito±ciami zwanymi charaktarystykami K. Niech

teraz L K b¦dzie podrozmaito±ci¡ lagran»owsk¡. Mamy dla p 2 L

T p L = (T p L) § (T p K) § ,

wi¦c dystrybucja charakterystyczna K jest, na L, styczna do L. St¡d charakterystyka K,

przechodz¡ca przez p 2 L, jest zawarta w L. Mo»emy powiedzie¢, »e L jest ’utkana’ z charak-

terystyk K. Podpowiada to nast¦puj¡c¡ konstrukcj¦ rozwi¡zania: Je»eli mamy podrozma-

ito±¢ izotropow¡ C K wymiary m−1 i transwersaln¡ do charakterystyk, to podrozmaito±¢

L mo»emy dosta¢ wypuszczaj¡c z ka»dego punktu C charakterystyk¦ K.

Uwaga terminologiczna. Matematycy cz¦sto charakterystyki K nazywaj¡ bicharakte-

rystykami, a charakterystykami ich rzuty na Q. My nazywa¢ je b¦dziemy Q-charakterystykami

równania. Q-charakterystyki pochodz¡ce od jednej podrozmaito±ci lagran»owskiej daj¡ ro-

dzin¦ zwan¡ polem charakterystyk (np. polem geodezyjnym). Bywa, »e rodzina ta daje

foliacj¦ Q.

Typowe zagadnienie: znale¹¢ rozwi¡zanie takie, »e na zadanej podrozmaito±ci N Q jest

zadan¡ funkcj¡ g: N !R.

Rozwi¡zanie: Mamy kanoniczne rzutowanie T N Q ! T N i szukamy podrozmaito±ci izo-

tropowej C K o wymiarze m−1 rzutuj¡cej si¦ na C. Nast¦pnie, metod¡ charakterystyk,

uzupełniamy j¡ do podrozmaito±ci lagran»owskiej L, a potem znajdujemy na niej potencjał,

na przykład poprzez odcałkowanie formy Q wzdłu» charakterystyk, z warunkiem pocz¡t-

kowym g na C.

Rozpatrzmy dwie, najcz¦±ciej rozpatrywane sytuacje przy ogólnym zało»eniu, »e kano-

niczne rzutowanie Q : K ! Q jest surjektywn¡ submersj¡, czyli rozwłóknieniem. Włókno

tego rozwłókinienia w q 2 Q, czyli przeci¦cie K\T q Q jest podrozmaito±ci¡ wymiaru m−1.

(1) dim N = m−1 i włókno rzutowania T N Q ! T N ma wymiar 1, zatem, w ogólnym

poło»eniu, dg(N) podnosi si¦ jednoznacznie do C K.

(2) N = {q} jest jednym punktem, wi¦c C q = K \ T q Q. Pole Q-charakterystyk otrzy-

mane z charakterystyk K wychodz¡cych z C q nazywane jest polem centralnym.

Rozwi¡zaniem zupełnym nazywamy rodzin¦ rozwi¡za« zadaj¡cych foliacj¦ K podrozma-

ito±ciami lagran»owskimi.

Przykład 1.

2.2. Z warto±ciami. Pierwsze pochodne funkcji f na Q, z uwzgl¦dnieniem warto±ci, skła-

daj¡ si¦ na element kontaktowy, który mo»emy uwa»a¢ za par¦: ró»niczk¦ funkcji d q f w

punkcie q i jej warto±¢ f(q). Element kontaktowy funkcji f w punkcie q oznacza¢ b¦dziemy

c q f. Zbiór wszystkich elementów kontaktowych tworzy wi¡zk¦ kontaktow¡ T Q×R. Zatem

równanie ró»niczkowe cz¡stkowe pierwszego rz¦du na funkcje na Q, zawiera¡ce warto±ci

funkcji, mo»na interpretowa¢ jako pozbiór K T Q×R. Funkcj¦ f 2 C 1 (Q) nazywamy

rozwi¡zaniem równania, je»eli cf(Q) K. W dalszym ci¡gu zajmowa¢ si¦ b¦dziemy przy-

padkiem, gdy K jest podrozmaito±ci¡ kowymiaru 1, poziomic¡ h(p) = 0 pewnej funkcji

ró»niczkowalnej h:! M.

Podobnie jak poprzednio, mo»na scharakteryzowa¢ podrozmaito±ci T Q×R, b¦d¡ce ob-

razami cf(Q). Niech r oznacza współrz¦dn¡ w R. Na T Q×R mamy kanoniczn¡ 1-form¦

¯ Q = dr− Q , zwan¡ form¡ kontaktow¡.

Stwierdzenie 4. Ci¦cie ¯ : Q ! T ×R jest postaci cf wtedy i tylko wtedy, gdy ( ¯ ) ¯ Q =

Dowod: Je»eli ¯ = cf, czyli ¯ = (df,f), to (Stwierdzenie 1)

( ¯ ) ¯ Q = df − (df) Q = df − df = 0.

Z drugiej strony, niech ¯ = (,f) i niech ( ¯ ) ¯ Q = 0. Mamy wówczas (Stwierdzenie 1)

0 = ( ¯ ) ¯ Q = df − Q = df −.

Form¦ ¯ Q mo»na uwa»a¢ za form¦ powi¡zanie na rozwłóknieniu T Q×R! T Q. W tej

interpretacji, powy»sze Stwierdzenie mówi, »e ¯ = cf dla pewnej funkcji f wtedy i tylko

wtedy, gdy ¯ (Q) jest horyzontalnym podniesieniem podrozmaito±ci lagran»owskiej w T Q.

Oznaczmy przez H (p,r) przestrze« wektorów horyzontalnych w punkcie (p,r) 2 T Q×R,

to znaczy

H (p,r) = {v 2 T (p,r) (T Q×R):h ¯ Q ,vi = 0}.

W sytuacji typowej, rzut podprzestrzeni T (p,r) K \H (p,r) na T p T Q jest podprzestrzeni¡

kowymiaru 1. Załó»my, »e jest tak dla ka»dego (p,r) 2 K. Polara symplektyczna tej pod-

przestrzeni jest jej jednowymiarow¡ podprzestrzeni¡. Jej podniesienie horyzontalne do (p,r)

nale»y oczywi±cie do T (p,r) K \ H (p,r) . W ten dsposób dostajemy na K jednowymiarow¡

dystrybucj¦ - dystrybucj¦ charakterystyczn¡ K. Podrozmaito±ci całkowe tej dystrybucji na-

zywamy charakterystykami równania K. Jak i w przypadku ’bez warto±ci’ pokazujemy, »e

je»eli cf(Q) K, to dystrybucja charakterystyczna jest styczna do cf(Q), czyli rozwi¡zanie

jest ’utkane’ z charakterystyk.

Jak te konstrukcje wygl¡daj¡ w przypadku K = h −1 (0)? Niech (p,r) 2 K, to

T (p,r) K = {(v, r):hdh, (v, r)i = 0}, H (p,r) = {(v, r): r = hp, T Q (v)i}

i st¡d

T (p,r) K \H (p,r) = {(v, r):hdh, (v, r)i = 0, r = hp, T Q (v)i}.

Zatem rzut W przeci¦cia T (p,r) K \H (p,r) na T p T Q jest podprzestrzeni¡

W = {v 2 T p T Q:hdh, (v,hp, T Q (v)i)i = 0}

= {v 2 T p T Q:h @h

@p ,vi + @h

@r hp, T Q (v)i = 0}

= {v 2 T p T Q:h @h

@p + @h

@r Q ,vi = 0}.

Anihilatorem W jest podprzestrze« rozpi¦ta kowektorem @h

@p + @h

@r Q któremu, poprzez

form¦ symplektyczn¡, odpowieda pole X h + @h

@r E T Q , gdzie E T Q jest polem Eulera wi¡zki

(T Q (wyja±nienie poni»ej).

Polem Eulera wi¡zki wektorowej : F ! M nazywamy pole, którego warto±¢ w punkcie

f 2 F jest wektorem stycznym, reprezentowanym krzyw¡ t 7! f + tf. W lokalnym układzie

współrz¦dnych (x i ,f a ), zgodnym ze struktur¡ wi¡zki, E F = P

a f a @

@f a .

Zatem, podniesiony poziomo wektor X h + @h

@r E T Q dany jest wzorem

X h (p,r) = X h + @h

@r E T Q + hp, T Q X h i @

@r .

We współrz¦dnych,

X h = − @h

@p i

@q i + @h

@p i + @h

@r p i @

@p i − @h

@p i p i @

@q i

i st¡d równanie charakterystyk

dq i

dt = − @h

@p i

dp i

dt = @h

@q i + @h

@r p i

dt = − @h

@p i p i .

3. Twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej.

3.1. Oznaczenia i podstawowe relacje. U»ywa¢ b¦dziemy standardowych oznacze« dla

wielowska¹ników i operatorów:

= ( 0 , 1 ,..., n ) ,

|| = 0 + 1 + ··· + n

= 0 1 ... n

! = 0 ! 1 ! ... n ! ,

@x i

D = D 0 D 1 ...D n

, gdzie D i =

W powy»szych i poni»szych wzorach x = (x 0 ,x 1 ,...,x n ), = ( 0 , 1 ,..., n ) 2 R n+1 .

Zachodz¡ wzory, b¦d¡ce łatwymi uogólnieniami znanych wzorów z Analizy I:

!! x y ,

(x + y) =

(1)

!! D fD g,

D (f ·g) =

(2)

(1 −x 0 )(1 −x 1 )···(1 −x n ) , |x i | < 1,

x =

(3)

! x = (x 0 + x 1 + ··· + x n ) m

(4)

||=m

||!

! x =

1 −x 0 −x 1 ···−x n

(5)

, przy |x 0 | + |x 1 | + ··· + |x n | < 1.

||=m

Urbański P - Równania Rózniczkowe Cząstkowe.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: