Warunek konieczny zbieznosci szeregu
Twierdzenie
Jezeli szereg
n=1∞an
jest zbiezny, to liman =0.
Uwaga
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Oznacza to, ze z faktu, iz liman =0 nie mozna wnioskowac, czy szereg jest zbiezny, czy rozbiezny. Natomiast, jezeli liman lub limban nie istnieje, to szereg jest rozbiezny.
Szereg geometryczny
Szereg geometryczny, w którym a≠0 jest zbiezny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1. Jeśli a=0, to szereg jest zbiezny i ma sumę rowną zero.
Suma szeregu geometrycznego zbieznego s jest rowna. a1-q
Szereg harmoniczny
n=1∞1n
Szereg harmoniczny jest rozbiezny.
Szereg harmoniczny dowolnego rzędu
n=1∞1nr
Szereg harmoniczny rzedu r>1 zbiezny. Szereg harmoniczny rzedu r < 1 jest rozbiezny.
Majoranta i minoranta szeregu
Dane są trzy szeregi o wyrazach dodatnich.
n=1∞an,n=1∞bn,n=1∞cn
Szereg bn nazywamy minoranta szeregu an kiedy każdy wyraz szeregu Bn jest niewiekszy od odpowiedniego wyrazu szeregu An
Szereg Cn nazywamy majoranta szeregu An jeżeli każdy wyraz szeregu Cn jest niemniejszy od odpowiedniego wyrazu szeregu An
Kryterium porównawcze
Twierdzenie 5
Jezeli majoranta szeregu jest zbiezna, to szereg jest zbiezny.
Jezeli minoranta szeregu jest rozbiezna, to szereg jest rozbiezny.
Zbadamy zbieznosc szeregu
n=1∞1n5n-1
Ponieważ n5n-1≥5n-1 dla n∈N to1n5n-1≤15n-1 zatem szereg
n=1∞15n-1 jest majoranta szeregu n=1∞1n5n-1 i jest szeregiem zbieżnym bo jest szeregiem geometrycznym o ilorazie q=15
Kryterium ilorazowe (d’Alemberta)
Jeśli liman+1an=g i g<1 to szereg jest zbieżny
Jeżeli g>1 to lub g=+∞ to szereg jest rozbieżny
Jeżeli g =1 nie wynika zbieznosc ani rozbieznosc i mówimy wtedy ze kryterium ilorazowe nie rozstrzyga o zbieznosci szeregu
Kryterium pierwiastkowe (Cauchy’ego)
Jeśli limnan=g i g<1 to szereg jest zbieżny
Jeśli g>1 lub g=+∞ to szereg jest rozbieżny
Jeżeli g=1 lub nie istnieje to nie rozstrzyga o zbieznosci i rozbieznosci szeregu
Uwaga Przy stosowaniu kryterium pierwiastkowego często wykorzystujemy wzory
limnc=1 dla c>0
limnn=1
pg2464