kinema egz.pdf

b)  t = ω o ⋅ t  1

3. Ruch prostoliniowy harmoniczny punktu

s(t)=bsinωt, gdzie b- amplituda ruchu; ω- prędkość kątowa ruchu

Tor ruchu punktu jest krzywą przestrzenną s(t)

Oś τ –oś styczna; Oś b –oś binormalna; Oś n -oś normalna główna; p –

promień krzywizny

 v = v  e τ v  t = ˙ s  t 

 a = a  e τ  a  e n  a τ =˙ v  t 

 a n = v 2  t 

2  t 2

c)  t = ω o ⋅ t − 1

2  t 2

r = const

s  t = t ⋅ r = ωt ⋅ r

ω  t =˙ t = ω

 t =˙ ω  t =¨ t =0

a τ  t = ˙ v  t = ˙ ω r = t  r =0

a n  t = v 2  t 

p  t  a =  a τ 2  a n 2

11. Ruch postępowy ciała sztywnego – definicja i ilustracja

v  t = ˙ s  t  a  t = ˙ v  t 

v  t = bωcosωt

a  t =− bω 2 sinωt

r = ω 2  t  r 2

r = ω 2 r =0

4. Ruch krzywoliniowy na płaszczyźnie we współrzędnych

biegunowych

s  t = t ⋅ r = ω o ⋅ t  1

2  t 2 ⋅ r

ω  t =˙ t = ω o  t

 t =˙ ω  t =

v = ˙ s  t = ω  t  r = ω o r  t r

a τ  t = ˙ v  t = ˙ ω r = r

a n  t = v 2  t 

Ciało sztywne jest w ruchu postępowym jeżeli wszystkie tory ruchów

wszystkich punktów ciała są jednakowe ze względu na kształt i

przesunięte równolegle względem siebie. Ruch postępowy jest

opisany za pomocą wybranego punktu ciała sztywnego. Musimy

określić przemieszczenie tego punktu

 r  t  , prędkość

 v  t  , i przyśpieszenie  a  t 

12. Ruch obrotowy ciała sztywnego - definicja i ilustracja.

Ciało sztywne jest w ruchu

obrotowym jeżeli obraca się

wokół stałej osi obrotu z.

Punkty ciała należące do osi

obrotu pozostają

nieruchome. Pozostałe

punkty poruszają się po

okręgach prostopadłych do

osi obrotu. Kąt obrotu ciała

  jest wektorem

wzdłuż osi z. Tak samo

wektory przyśpieszenia w

prędkości kątowej

r = ω 2 r 2

r = ω o  t  2 ⋅ r

 r = r ⋅ e r  v = v r ⋅  e r  v  ⋅  e 

v r = ˙ r v  = r ⋅˙

 a = a r ⋅  e r  a  ⋅  e  a r = ¨ r − r ⋅˙ 2

a  = r ⋅¨2 ˙ r ⋅˙

v =  v r 2  v  2 a =  a r 2  a  2

5. Ruch krzywoliniowy na płaszczyźnie we współrzędnych

naturalnych (τ, n)

s  t = t ⋅ r = ω o ⋅ t − 1

2  t 2 ⋅ r

ω  t =˙ t = ω o − t

 t = ˙ ω  t =−

v = ˙ s  t = ω  t  r = ω o − t  r

a τ  t = ˙ v  t = t  r =− r

a n  t = v 2  t 

  ,

 ω

są wzdłuż osi z.

r = ω 2 r 2

r = ω 2 r =

= ω o − t  2 ⋅ r

9. Ruch krzywoliniowy punktu w przestrzeni w współrzędnych

walcowych.

  t = t   e z

 ω = ω  t   e z =˙ t   e z

 = ˙ ω  t = t   e z

 v  t =  ω  t ×  r  t  v  t = ω ˙ r

 a τ  t =   t ×  r  t  a τ  t = ˙ r

 a  t =  ω  t ×  v  t  a n = ω 2 ˙ r

Gdzie

˙ r =∣ ˙ O M ∣= r sin

13. Ruch płaski ciała sztywnego – definicja i ilustracja

Ciało sztywne jest w ruchu płaskim jeśli wszystkie punkty ciała

poruszają się w płaszczyznach równoległych do siebie. Wybraną

płaszczyznę xy nazywamy płaszczyzną kierowniczą. Przykładamy

ruch ciała w kształcie elipsoidy:

Mamy dane równanie drogi s(t) punktu M.

Wtedy  V = V ⋅  e τ v = ˙ s

 a = a ⋅  e τ  a ⋅  e n  a τ = ˙ v = ¨ s

a n = v 2

p = ∣ KM ∣

 v = v r ⋅  e r  v n ⋅  e n  v z ⋅  e z

v r = ˙ r

v n = r ˙ v z = ˙ z

 a = a r ⋅  e r  a n ⋅  e n  a z ⋅  e z

a r =¨ r − r ˙  2 a n = r ¨2 ˙ r ˙

v z = ¨ z v =  v r 2  v n 2  v z 2

a =  a r 2  a n 2  a z 2

10. Ruch krzywoliniowy punktu w przestrzeni w współrzędnych

naturalnych

Trajektorię ruchu P możemy wyznaczyć z wzoru:

p  x = 1

¨ f ⋅  1 ˙ f 2  3

6,7,8. Ruch punktu po okręgu dla równania drogi:

Dowolny ruch punktu w płaszczyźnie xy jest złożeniem ruchu

postępowego i obrotowego tarczy. Ruch postępowy jest jednocześnie

określony przez ruch punktu A tarczy. Ruch obrotowy jest

rozpatrywany względem osi

˙ z ∥ z

przechodzący przez punkt

14. Metoda superpozycji i wyznaczania prędkości punktu ciała –

ilustracja i obliczenia.

 t = ω ⋅ t

 v A ,  ω ,  r

 v B =  v A   v BA

Dane:

;

 v BA =  ω ×  r v BA = ωr

 v A  t = v Ax  t   e x  v Ay  t   e y

 v A =  v C   v AC =0   v AC =  ω ×  r A

v A = ωr A

 v B =  v C   v BC =0   v BC =  ω ×  r B

v B = ωr B

19. Zastosowanie chwilowego środka przyśpieszenia – ilustracja i

opis

23. Przyśpieszenie kątowe:

= ˙  ω =˙  e z ˙  e ζ  ˙ θ  e s  ' =

=¨  e z  ¨   e ζ  ¨ θ  e s ˙ ˙  e z  ˙  ˙  e ζ  ˙ θ ˙  e s

 =¨  e z  ¨   e ζ  ¨ θ  e s   ω    ω θ 

×  ω    ω  ×  ω θ

24. Prędkoś ć i przyspieszenie punk tu w ruchu kulistym .

v =  v 2  v 2  v 2

a =  a 2  a 2  a 2

v =  v 2  v 2  v  2

a =  a 2  a 2  a  2

25. Aksonoida

Ruchomą nazywamy

powierzchnię

stożkową, będącą

miejscem

geometrycznym

chwilowych osi

obrotu „u” w

układzie

 ,n ,ζ

Przypadek

ogólny:

v B =  v A 2  v BA 2 2v A v BA cos

15. Metoda super pozycji wyznaczania przyśpieszeń punktu ciała

w ruchu płaskim – ilustracja i obliczenia.

Mając dany chwilowy środek przyśpieszenia oraz wartości wektorów

ω, ε i odległości d A ,d B możemy wyliczyć przyśpieszenia

punktów A,B. Korzystamy z wzorów na chwilowy środek

 a B =  a A   a BA  a B =  a BA τ  a BA n

 a BA τ =  ×  r

d A = a A

przyśpieszeń:

a BA τ = r

  2  ω 4

⇒ a A = d A   2  ω 4

 a BA n = ω 2 r

16. Chwilowy środek – definicja i ilustracja

Chwilowy środek obrotu jest to punkt tarczy będącej w ruchu płaskim,

którego prędkość chwilowa jest równa

d B = a B

Aksonoidą stałą

nazywamy

powierzchnie

stożkową będącą

miejscem

geometrycznym chwilowych osi obrotu „u” w układzie x,y,z.

 v =  ω ×  r =0

26.Precesja regularna – definicja. Wzory na prędkość i

przyśpieszenie.

Precesją regularną nazywamy ruch kulisty w którym kąt nutacji jest

równy θ=const, prędkość kątowa precesji

ω  =˙= const

v c  t =0 c-

  2  ω 4

⇒ a B = d B   2  ω 4

20. Ruch kulisty ciała sztywnego. Kąty Eulera – definicja.

Ruchem kulistym ciała

sztywnego nazywamy taki ruch,

podczas którego jeden punkt

ciała pozostaje nieruchomy, a

ciało ma możliwość obrotu

wokół dowolnej osi

przechodzącej przez ten punkt.

Ruch kulisty możemy opisać za

pomocą trzech kątów Eulera.

-Kąt nutacji θ(t) określa

odchylenie osi ζ od osi z. -Kąt

precesji Ψ(t) jest kątem obrotu

osi węzłów s w płaszczyźnie xy.

-Kąt obrotu własnego φ(t) jest kątem obrotu osi ξ względem osi

węzłów s.

21. Wyznaczanie chwilowej osi obrotu w ruchu kulistym

Rozważmy dwie chwile t, Δt +t

przesunięte względem siebie o Δt.

W czasie Δt kąty Eulera zmieniają

swoją wartość o Δθ, ΔΨ, Δφ.

Przyrost danego kąta Eulera jest

w tej samej płaszczyźnie co dany

kąt. W danym przedziale czasu,

ruch kulisty ciała jest ruchem

obrotowym wokół chwilowej osi

obrotu „u”, wyznaczonej przez

wektor małego obrotu

Δ  α

chwilowy środek obrotu.

, a prędkość kątową obrotu

ω  =˙= const

własnego

. Prędkość kątową w

 ω =  ω    ω 

ω =  ω  2  ω  2 2ω  ω  cosθ

precesji regularnej:

Długość promienia r A jest określana wzorem:

 v c =  v A   v CA =0 ⇒  v A =−  v CA

Przyśpieszenie kątowe w precesji regularnej:

 =  ω  ×  ω  = ω  ⋅ ω  ⋅ sinθ

27. Ruch ogólny ciała sztywnego – definicja. Wzory na prędkość i

przyśpieszenie punktu ciała.

Ruch dowolny ciała sztywnego jest to złożenie ruchu postępowego

ciała i ruchu kulistego. Ruch postępowy, jest to ruch w którym tory

ruchu wszystkich punktów ciała są jednakowe pod względem kształtu

i przesunięte równolegle względem siebie. Ruch kulisty jest to ruch

ciała w którym jeden punkt ciała sztywnego pozostaje nieruchomy.

Wzory wektorowe prędkości i przyśpieszenia punktu. Wektor

przemieszczenia:

 r A  t = x A  t   e x  y A  t   e y  z A  t   e z

Wektor prędkości:

 v A  t = ˙ x A  t   e x  ˙ y A  t   e y  ˙ z A  t   e z

Wektor przyśpieszenia:

 a A  t = ¨ x A  t   e x  ¨ y A  t   e y  ¨ z A  t   e z

punktu A.

28. Twierdzenie o osi chwilowego skrętu.

W każdej chwili w ruchu dowolnym ciała sztywnego istnieje oś skrętu

chwilowego

v A = r A ⇒ ωr A = v A

v A = v CA

17. Chwilowy środek przyśpieszeń – definicja i ilustracja

zdefiniowanej przez

wzór:

Chwilowy środek przyśpieszeń jest to punkt tarczy będącej w ruchu

płaskim, którego przyśpieszenie chwilowe jest równe

a D  t =0 ;  a D =  a A   a DA =0

 a A =−  a DA ⇒ a A = a DA

a DA =   a DA τ  2  a DA n  2 =

=   d A  2  ω 2 d A  2 = d A   2  ω 4

⇒ d A = a DA

Δ  α =  e z   e ζ  θ  e s

  r =  ×  r

 r =⋅ r sin

22. Prędkość kątowa precesji

 ω  , obrotu własnego

 ω  , i nutacji

 ω θ tworzą częściowo

ortogonalny układ wektorów.

u s

równoległa do osi u. Punkty osi

mają jednakowe prędkości, kolinearne z tą osią.

  2  ω 4 = a A

  2  ω 4

tg = 

ω 2

18. Zastosowanie chwilowego środka obrotu – ilustracja i opis

Mając dany chwilowy środek

obrotu C, oraz wektory

 ω ,  r A ,  r B

możemy wyznaczyć za

pomocą metody super pozycji

wektory

 v A =  v Au   v A '

 v B =  v A   v ' =  v Au   v A '  v '

 v ' =−  v A ' ⇒  v B =  v Au

29. Ruch śrubowy ciała sztywnego – ilustracja i definicja.

Ciało porusza się ruchem śrubowym wzdłuż osi z, jeśli posiada dwa

stopnie swobody którym odpowiadają współrzędne ruchu

z a  t  ,  t  . Ruch śrubowy jest złożeniem ruchu

Δt 0  

 t  e z  

 t  e ζ   θ

 v A ,  v B

ora

 ω =lim

 t  e s =

=˙  e z ˙  e ζ  ˙ θ  e s =  ω    ω    ω θ

ω  =˙ ω  =˙ ω θ = ˙ θ

ich wartości.

postępowego wzdłuż

osi z, oraz obrotowego

wzdłuż tej osi.

Wektory

 ,  a A i  v A są kolinearne wzdłuż osi z.

30. Ruch złożony punktu materialnego można zdefiniować jako

chwilowy ruch obrotowy wokół chwilowej osi obrotu z chwilową

prędkością kątową. Współrzędne opisujące ruch postępowy

nazywamy współrzędnymi ruchu unoszenia. Współrzędne opisujące

ruch w układzie  ,n ,ζ

nazywamy ruchem względnym.

 v =  v u   v w  v u =  v A   ω ×  r

 v w = ˙   e  ˙ n  e n  ˙ ζ  e ζ

 a =  a u   a w   a c

 a u =  a A   ×  r '   ω ×  ω ×  r ' 

 a w = dsot   e  ¨ n  e n  ¨ ζ  e ζ

 a c =2  ω ×  v w

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: