1
Wykład drugi
Temat IV
Logika i matematyka
Wprowadzenie do teorii mnogości
Tworząc teorię mnogości G. Cantor - inaczej niż Euklides - nie podał żadnych aksjomatów czy postulatów, lecz sformułował definicje głównych jej pojęć: zbioru, liczby kardynalnej, równoliczności, zbioru uporządkowanego i typu porządkowego. W książce, która była systematyzacją i podsumowaniem uzyskanych wcześniejszych wyników, Cantor pisze:
Przez ‘zbiór’ rozumiemy każde zebranie w jedną całość M określonych, dobrze odróżnionych przedmiotów m naszej naoczności albo naszego myślenia (które są nazywane ‘elementarni’ [zbioru] M) Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengelehre(1895-1897).
Intuicyjna teoria zbiorów
Zbudowana przez Georga Cantora w latach 1871-1883 teoria mnogości operuje dwoma pojęciami pierwotnymi: pojęciem zbioru oraz relacji bycia elementem (należenia). Zbiór dany jest enumeracją elementów lub ogółem obiektów, którym na wspólna własność.. W pierwszym przypadku nazwy elementów zapisuje się w nawiasie klamrowym, np.
{ a1, a2, ... , an}, dla n-elementowego zbioru, gdy n > 1 jest liczbą naturalną.
W drugim przypadku zbiór jest ogółem obiektów, które posiadają własność. wyrażoną funkcją zdaniową jednej zmiennej x,
(1) Zφ={x: φ(x)}
Założenie, że dla dowolnej funkcji zdaniowej φ(x) istnieje zbiór Z postaci (1), tj. zbiór elementów spełniających tę funkcję nazywane jest aksjomatem abstrakcji.
G. Malinowski Logika ogólna, s. 166
------------------------------------
1. Terminologia i definicje
Zbiór jest złożony, składa się z pewnych przedmiotów
A, B, C … - zmienne przebiegające zbiory
x - nazwa (dowolnego) przedmiotu
W(x) – funkcja zdaniowa o zmiennej wolnej x
{x: W(x)} – operator abstrakcji; {x: } wiąże zmienną x
yÎ{x: W(x)} – y jest elementem zbioru takich x, że zachodzi W(x)
Prawo eliminacji operatora abstrakcji
yÎ{x: W(x)} º W(y)
Relacje między elementami a zbiorami:
Należenie elementu do zbioru: xÎA - x jest elementem zbioru A, x należy do A
Nienależenie elementu do zbioru: xÏA - x nie jest elementem zbioru A, x nie należy do A. Zachodzi: xÏA º ~(xÎA) º ~xÎA
Działania na zbiorach, ich określenie
A È B - suma zbiorów A i B; sumą zbiorów A i B jest zbiór tych i tylko elementów, które należą do zbioru A lub należą do zbioru B
A È B = {x: xÎA Ú xÎB}; xÎ A È B º xÎA Ú xÎB
A Ç B - iloczyn zbiorów A i B; iloczynem zbiorów A i B jest zbiór tych i tylko elementów, które należą do zbioru A i należą do zbioru B
A Ç B = {x: xÎA Ù xÎB}; xÎ A Ç B º xÎA Ù xÎB
A - B - różnica zbiorów A i B; różnicą zbiorów A i B jest zbiór tych i tylko elementów zbioru A, które nie są elementami zbioru B
A - B = {x: xÎA Ù xÏB}; xÎ A - B º xÎ A Ù xÏB
Różnica symetryczna dwóch zbiorów: A (A
V - zbiór uniwersalny; zbiór pełny, zbiór wszystkich przedmiotów
V = {x: x = x}; xÎV º x = x
Æ - zbiór pusty
Æ = {x: x ¹ x}; xÎÆ º x ¹ x
Właściwości zbioru pustego:
~$x (xÎÆ) º ~$x (x ¹ x)
"x (xÏÆ) - żaden przedmiot nie jest elementem zbioru pustego
A’ - dopełnienie zbioru A; dopełnieniem zbioru A jest zbiór tych i tylko przedmiotów, które nie są elementami zbioru A...
koksiuk