Matematyka 27.11.2010.doc

Liczby zespolone – ciąg dalszy z dnia 13.11.2010.

Pierwiastkowanie liczb zespolonych.

Każdą liczbę zespoloną „w” spełniającą równanie , nazywamy pierwiastkiem stopnia „n” z liczby zespolonej „z” i oznaczamy .

Istnieje dokładnie „n” różnych pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej .

!

Jeżeli , to:

Przykład:

y

Oblicz pierwiastek trzeciego stopnia - - dla .

x

-1

Pierwiastki kwadratowe liczby zespolonej można obliczyć bez konieczności zamiany tej liczby na postać trygonometryczną. Należy rozpatrzyć trzy przypadki (w zależności od wartości liczb „a” i „b”):

1.      - liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Wtedy .

2.      - liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą ujemną.
Wtedy .

3.     

4.      - liczba jest liczbą zespoloną lub urojona .
Wtedy

(epsilon):

- +1 dla ,

- -1 dla .

Przykład:

Oblicz pierwiastek .

Można również obliczyć pierwiastki drugiego stopnia, korzystając z innej metody.

Przykład.

Jednym z pierwiastków będzie liczba zespolona.

, zatem              

- odpada bo

Rozwiązywanie równań.

1.      Równania kwadratowe – mają w dziedzinie liczb zespolonych zawsze dwa pierwiastki.

Przykład 1.

1.       

2.     



 

3.       

4.     
 

5.     



 

6.       

7.     
 

8.       

9.       

10. 
 

2.     

3.     

Inne równania.

Przykład.

a)      - jest to tzw. równanie dwumienne typu .
 

b)    

Postać wykładnicza liczb zespolonych.

Liczbę zespoloną można przedstawić jako: .

Liczba sprzężona:

Zależność pomiędzy oraz i określają wzory Eulera:

.

Pierwiastki zespolone.

Przykład.

Przedstaw w postaci wykładniczej liczbę .

y

x

1

Zastosowanie liczb zespolonych w geometrii.

1.       

2.      Wzory na i .

Ze wzoru de Moivre’a:
 

3.     

! NAJPIĘKNIEJSZY WZÓR MATEMATYKI !

Łączy w sobie pięć stałych matematycznych:

oraz

Notatka autora: legenda głosi, że ludzie ze skrzywioną psychiką podniecają się na samą myśl o nim …