Bednarek S - Mechanika kwantowa.pdf

(1143 KB) Pobierz
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/strict.dtd">
Mechanika kwantowa.
Stanisław Bednarek
Fizyka Techniczna, semestr letni 2006/2007.
I.
4Wst
p.
4 Mechanika klasyczna a układy mikroskopowe.
5 Stan układu mikroskopowego.
5 Okre
ci fizyczne.
6 Mechanika kwantowa - uwagi wst
lone i nieokre
lone wielko
pne.
6 Funkcja stanu i jej probabilistyczna interpretacja.
7 Zasada superpozycji.
8 Warto
ci własne i funkcje własne wielko
ci fizycznych.
9 Warto
ci
rednie (oczekiwane) wielko
ci fizycznej, operatory.
10 Ró
ne postacie operatorów.
9 Hermitowskie sprz
enie operatora, operatory hermitowskie.
9 Ortogonalno
funkcji własnych operatora hermitowskiego.
9 Własno
ci przemienno
ci operatorów. Komutatory.
10 Widmo ci
głe operatora.
II.
14 Postulaty mechaniki kwantowej.
14 Przestrze
Hilberta.
15 Przykład przestrzeni Hilberta.
16 Uogólnienie definicji operatora sprz
onego po hermitowsku.
17 Reprezentacja poło
eniowa.
18 Kwantowanie.
18 Nawiasy Poissona.
19Komutatory.
20 Najprostsze zastosowania. Jedna cz
stka w przestrzeni jednowymiarowej.
21
III.
23 Cz
stka swobodna.
24 Degeneracja warto
ci własnych.
24 Liczby kwantowe.
24 Unormowanie funkcji falowych.
25 Operator parzysto
ci.
26 Schodek potencjału.
28 Prostok
tna jama potencjału.
IV.
32 Niesko
boka studnia potencjału.
33 Pudło periodyczno
czenie gł
ci.
33 Oscylator harmoniczny.
34 Przej
cie do zmiennych bezwymiarowych.
34 Równanie własne oscylatora harmonicznego.
1
V.
37 Numeryczne rozwi
zywanie równania własnego.
38 Ci
ci własnych. Jednowymiarowe problemy rozproszeniowe.
40 Tunelowanie przez barier
głe widmo warto
potencjału.
VI.
42 Czas w mechanice kwantowej.
42 Zale
ne od czasu równanie Schroedingera.
43 “Spoczywaj
cy” pakiet falowy.
45 Pakiet falowy z niezerowym p
dem.
47 „Pakiety falowe” w przypadku widma dyskretnego.
48 Uwagi do numerycznych metod rozwi
zywania zale
nego od czasu równania
Schroedingera.
VII.
50 Ró
ne reprezentacje
50 Ruch cz
stki w jednorodnym polu.
51 Reprezentacja p
dów.
52 Przej
eniowej.
54 Oscylator harmoniczny w reprezentacji liczb obsadze
cie z reprezentacji p
dowej do poło
.
VIII.
59 Przestrze
trójwymiarowa.
61 Metoda separacji zmiennych.
61 Cz
stka swobodna w trzech wymiarach.
62 Trójwymiarowy oscylator harmoniczny.
63 Operator momentu p
du.
64 Rzut momentu p
du na wybrany kierunek.
65 Warto
ci własne operatora kwadratu momentu p
du.
IX.
67 Funkcje własne operatora kwadratu momentu p
du.
68 Cz
stka w polu potencjału o symetrii sferycznej.
69 Energia kinetyczna cz
stki we współrz
dnych sferycznych.
70 Cz
stka w polu potencjału kulombowskiego. Atom wodoru.
71 Degeneracja poziomów energetycznych a symetria problemu.
X.
74 Spin.
75 Rachunki przybli
one
75 Niezale
ny od czasu rachunek zaburze
dla widma nie zdegenerowanego.
77 Warunki stosowalno
ci rachunku zaburze
.
78 Rachunek zaburze
dla blisko poło
onych poziomów energetycznych, lub w przypadku
wyst
pienia degeneracji.
80 Metoda wariacyjna.
XI.
83 Układy zło
one z kilku cz
stek.
83 Układ cz
stek nie oddziaływuj
cych.
83 Separacja ruchu
rodka masy.
2
85 Układy zło
one z jednakowych cz
stek. Nierozró
nialno
.
86 Zwi
zek symetrii funkcji falowych ze spinem.
86 Podział funkcji falowej na cz
przestrzenn
i spinow
.
87 Atom helu.
XII.
91 Stany wzbudzone układu dwuelektronowego.
91 Operator spinu i jego funkcje własne. Macierze Pauliego.
94 Funkcja falowa elektronu z uwzgl
dnieniem spinu.
95 Funkcja falowa układu dwóch elektronów.
96 Stany wzbudzone atomu helu. Oddziaływanie wymienne.
97 Stany dwuelektronowe w kropkach kwantowych – dwuelektronowe sztuczne atomy.
XIII.
101 Układy zło
one z wielu elektronów. Metoda pola samouzgodnionego.
101 Samouzgodniona metoda Hartree.
103 Metoda Hartree - Focka.
104 Metoda Hartree-Focka w zastosowaniu do sztucznych atomów (kropek kwantowych) o
symetrii sferycznej.
108 Pojemno
kwantowa sferycznej kropki kwantowej.
109 Reguła Hunda dla symetrii sferycznej.
109 Dwa elektrony w podwójnej pionowo sprz
onej kropce kwantowej. Badanie
dokładno
ci metody Hartree-Focka.
XIV.
112 Relatywistyczna Mechanika Kwantowa.
115 Hamiltonian relatywistyczny.
116 Rozwi
zanie równania Diraca dla cz
stki swobodnej.
117 Cz
trznym polu magnetycznym.
118 Poprawki relatywistyczne do równania Schroedingera.
119 Transformacja Lorentza funkcji falowej.
stka relatywistyczna w zewn
3
I.
Wst
p.
Mechanika kwantowa jest podstawowym narz
dziem fizyka zajmuj
cego si
teori
. By
mo
e kto
spo
ród was b
dzie si
zajmował problemami kwantowo-mechanicznymi. B
dzie
wi
c musiał pogł
bi
swoj
wiedz
. Podczas semestralnego wykładu niesposób nauczy
si
wszystkiego co do swobodnego posługiwania si
tym narz
dziem jest potrzebne. Dlatego nie
mam ambicji “wyczerpania tematu”. Chciałbym,
eby
cie zaznajomili si
z podstawowymi
zało
eniami i dobrze je zrozumieli, opanowali kilka podstawowych metod rachunkowych i
uzyskali ogólne, lecz prawidłowe wyobra
enie o mechanice kwantowej. Nie musimy
przerobi
du
o materiału, ale to co przerobimy musimy zrobi
dobrze. Chciałbym, aby
cie
poczuli ducha mechaniki kwantowej. Pytajcie, je
eli czego
nie rozumiecie. Zapami
tane
niezrozumiałe formuły o nieokre
lonym znaczeniu i przeznaczeniu s
bezwarto
ciowe. By
mo
e nie na ka
de pytanie udziel
od razu odpowiedzi. S
w mechanice kwantowej
problemy, które zaczyna si
rozumie
dopiero wtedy, kiedy si
przyzwyczai do u
ywanego
formalizmu.
Nasza wyobra
nia ukształtowana w
yciu codziennym na zjawiskach klasycznych cz
sto
zawodzi w zastosowaniu do układów kwantowych. Musicie nauczy
si
operowa
nowymi
poj
ciami, u
ywa
specyficznego j
zyka. Chciałbym ponadto uczuli
słuchaczy na
zrozumienie mojego j
zyka. Poniewa
ja w swojej codziennej pracy u
ywam aparatu
mechaniki kwantowej od wielu lat, mog
nieprawidłowo ocenia
co jest oczywiste, a co
wymaga wyja
nienia. Je
eli wi
c si
zdarzy,
e ja uznam co
za spraw
oczywist
, a dla was
b
dzie niezrozumiała, bardzo prosz
aby
cie przerwali moj
wypowied
i
dali wyja
nie
.
Mechanika klasyczna a układy mikroskopowe .
Mechanika klasyczna bazuj
ca na równaniach dynamiki Newtona załamuje si
przy próbie
opisu mikro
wiata. W momencie kiedy metody eksperymentalne osi
gn
ły mo
liwo
badania układów zło
onych z pojedynczych cz
stek elementarnych pojawiła si
potrzeba
stworzenia dla nich całkowicie nowej teorii.
Pierwszym sygnałem nieadekwatno
ci mechaniki i elektrodynamiki klasycznej do opisu
mikro
wiata była nieudana próba opisu atomu wodoru (1913). Wyobra
enie atomu wodoru z
kr
cym wokół j
dra elektronem traktowanym jako cz
stka klasyczna nie doprowadziło do
poprawnego opisu jego poziomów energetycznych.
Dopiero zaproponowany przez Bohra model wodoru, zakładaj
cy ograniczenie stosowalno
ci
praw klasycznych pozwolił wytłumaczy
pewne własno
ci mikroukładów, w szczególno
ci
widmo absorbcji i emisji
wiatła przez atomy.
Innym
bezpo
rednim
dowodem
nie
stosowalno
ci
fizyki
klasycznej
do
układów
mikroskopowych jest do
wiadczenie z interferencj
elektronów (1928) na układzie szczelin.
Eksperyment ten pokazuje,
e elektrony nie mog
by
traktowane jak czysto klasyczne
cz
stki, gdy
w pewnych warunkach wykazuj
charakter falowy. Wykazanie falowych
własno
ci cz
stek dotychczas uwa
anych jako korpuskularne okre
liło kierunek poszukiwa
i
doprowadziło do powstania mechaniki kwantowej - teorii opisuj
cej układy mikroskopowe.
Podobne załamanie teorii klasycznej omawiali
my w roku ubiegłym przechodz
c do
mechaniki relatywistycznej. Klasyczne traktowanie obiektów poruszaj
cych si
z du
ymi
pr
dko
ciami doprowadziło do sprzecznych z do
wiadczeniem wyników. Musieli
my
uogólni
teori
i uzyskali
my nieco inne prawa, które w granicy małych pr
dko
ci przechodz
w prawa klasyczne. Jednak
e sama konstrukcja teorii relatywistycznej jej filozofia i metody
rachunkowe nie uległy zmianie. Wprowadzili
my tylko inne wyra
enia opisuj
ce wielko
ci
4
fizyczne i inne równania ruchu. Tamt
zmian
teorii mo
na by nazwa
drobnym zabiegiem
kosmetycznym w porównaniu z tym co nas teraz czeka.
Mechanika kwantowa operuje zasadniczo ró
nym aparatem matematycznym i jest poj
ciowo
ró
na od klasycznej.
Stan układu mikroskopowego.
W mechanice klasycznej stan układu mógł by
ci
wszystkich jego elementów w danej chwili. Ewolucja czasowa układu była jednoznacznie
okre
opisany przez podanie poło
e
i pr
dko
lona (z wyj
tkiem układów niestabilnych, które pomimo determinizmu wykazuj
zachowania chaotyczne), mo
na było przewidzie
lub obserwowa
trajektorie wszystkich ciał
(cz
stek).
·
W układach mikroskopowych próba wyznaczenia trajektorii cz
stki zako
czy si
niepowodzeniem. Ma to zwi
układów
makro i mikroskopowych. W tym drugim przypadku akt pomiaru zaburza naogół stan
układu. Zilustrujmy to przykładem. Poruszaj
zek z zasadnicz
ró
nic
pomi
dzy obserwacj
ce si
w przestrzeni ciało makroskopowe
mo
emy np. obserwowa
o
wietlaj
c je
wiatłem i odbieraj
c rozproszone czy odbite od
przedmiotu fotony. Pomiaru mo
emy dokona
w dowolnie krótkich odst
pach czasu. Nie
zmienia on trajektorii ciała makroskopowego, gdy
przekazywane obserwowanemu
przedmiotowi energia i p
zaniedbywalnie małe. Podobna metoda zastosowana do
obserwacji elektronu powoduje zaburzenie jego stanu. Im dokładniej chcemy okre
d s
li
poło
enie elektronu tym krótszej fali
wietlnej musimy u
y
. Oznacza to konieczno
u
ycia wy
ej energetycznego fotonu i wi
ksze zaburzenie energii i p
du badanego obiektu.
Okazuje si
,
e nie wszystkie wielko
ci fizyczne s
mierzalne jednocze
nie. Im dokładniejszy
jest pomiar poło
enia tym mniej dokładny jest pomiar p
du (pr
dko
ci) cz
stki. Jest to
własno
znana jako relacja nieoznaczono
ci Heisenberga.
Niemo
liwo
ustalenia trajektorii cz
stek tworz
cych układ zmusza nas do całkowitej
zmiany sposobu opisu układów.
·
Innym problemem z którym musimy si
pogodzi
jest niejednoznaczno
wyników
pomiarowych. W układzie klasycznym ró
ne wyniki otrzymywali
my dokonuj
c w
ró
nych chwilach pomiaru wielko
ci fizycznej, która nie była zachowywana. Jednak
e dla
dowolnego czasu mogli
my przewidzie
chwilowe jej warto
ci i wyniki pomiarów
wykonywanych w krótkich odst
ne.
W układach mikroskopowych podczas kilku pomiarów tej samej wielko
pach czasowych były zbie
ci fizycznej
wykonanych w dowolnie krótkich odst
pach czasu mo
emy uzyska
całkowicie ró
ne
wyniki. Jednak
e pod pozornym bałaganem ukrywaj
si
pewne prawidłowo
ci. Je
eli
wykonamy seri
pomiarów, oka
e si
e dany wynik pomiarowy pojawia si
z okre
lonym
prawdopodobie
stwem. Jednocze
nie (w odró
nieniu od klasycznego chaosu
deterministycznego) pojawienie si
okre
lonego wyniku jest zupełnie przypadkowe i mo
e
by
traktowane jako zmienna losowa.
Okre
lone i nieokre
lone wielko
ci fizyczne.
·
W pewnych szczególnych stanach prawdopodobie
stwo uzyskania tego samego wyniku
jest równe 1. Wówczas mówimy,
e dana wielko
fizyczna jest w tym stanie okre
lona.
·
W stanach w których prawdopodobie
stwo jest mniejsze od 1 wielko
fizyczna nie jest
okre
lona.
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin