Teoria.docx

(552 KB) Pobierz

1. Podstawowe założenia wytrzymałości materiałów :

- idealizacja materiału

- idealizacja konstrukcji – uproszczenie konstrukcji: elementy prętowe, cienkościenne,

masywne

- idealizacja więzów – przeguby, utwierdzenia, podpory

- idealizacja obciążenia – siły, momenty

· Ciągłość materiału- w materiale nie występują mikropęknięcia, pustki. Rozpatrywane materiały można uważać za continuum materialne.

· continuum materialne – każdy punkt geometryczny ciała ma przypisaną masę która jest w sposób ciągły rozłożona w przestrzeni ciała.

· Jednorodność materiału- właściwości mechaniczne, fizyczne materiału nie są funkcjami położenia, czyli są jednakowe w każdym punkcie elementu konstrukcyjnego.

· Izotropowość materiału- właściwości mechaniczne, fizyczne nie zależą od orientacji rozpatrywanej objętości elementarnej ciała.

· Liniowa sprężystość materiału- zakłada że do pewnej granicy obciążenia ciało zachowuje ciągłość struktury oraz, że istnieje jednoznaczny, bez naprężenia stan ciała, do którego badane ciało powraca, ilekroć zostaną usunięte siły zewnętrzne.

Momenty Bezwładności (statyczny, biegunowy) !

Wzory na momenty bezwładności:

$I_x = \int\limits_A y^2 dA$

$I_y = \int\limits_A x^2 dA$

· Ix – moment bezwładności względem osi x,

· Iy – moment bezwładności względem osi y,

· dA – element powierzchni,

· x – odległość dA od osi y.

· y – odległość dA od osi x.

Biegunowy moment bezwładności przekroju (tylko kołowego lub pierścieniowego) belki jest parametrem przekroju opisującym wytrzymałość na skręcanie. Gdy przemnożymy biegunowy moment przekroju razy moduł Kirchhoffa, to otrzymamy sztywność na skręcanie belki.

Moment bezwładności figury płaskiej ma wymiar długość do potęgi czwartej (w SI m4).

Biegunowy moment bezwładności to moment bezwładności względem punktu będącego środkiem ciężkości.

Centralne momenty bezwładności to momenty bezwładności obliczone względem osi centralnych

Promień Bezwładności i pola A figury względem osi lub bieguna nazywamy odległość w której umieszczona powierzchnia A daje moment bezwładności względem tej prostej lub tego bieguna równy momentowi samej figury

Obliczamy ze wzorów:

Moment statyczny – momentem statycznym pola względem pewnej osi nazywamy sumę iloczynów pól i odległości od tej osi.

To są zasady obliczeniowe:

· Zasada zesztywnienia – linie działania sił przyłożonych do ciała nieodkształconego nie zmieniają położenia w ciele odkształconym. Niezależnie od obciążeń konstrukcja nie zmienia geometrii.

· Zasada superpozycji lub zasada niezależności obciążeń, reakcje na obciążenia można sumować.

· Zasada De Saint-Venanta – jeśli w pewnym miejscu danej bryły przyłożymy różne, ale statecznie równoważne obciążenia, to naprężenia miejscowe będą różne, natomiast w pozostałej części bryły sposób przyłożenia nie ma wpływu na rozkład naprężeń. Przyjmujemy, że siła jest w punkcie lub na jakiejś długości a nie na fragmencie objętości.

Jeżeli dany układ sił działających na niewielki obszar ciała będącego w równowadze zastąpimy innym układem sił statycznie równoważnym i działającym bezpośrednio na ten obszar, to w odległości większej od jego wymiarów powstają jednakowe stany naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia.

· Założenia statyczności obciążeń- przyjmuje się, że działające na konstrukcje siły wzrastają od wartości zerowej aż do ich ostatecznej wartości w sposób ciągły i nieskończenie powolny

· Ciało rozważamy w stanie statycznym

· Zasada płaskich przekrojów – zakłada się, że przekrój płaski przeprowadzony myślowo w ciele nieodkształconym, chociaż może zmienić swe położenie przy odkształceniu ciała, pozostaje nadal płaski.

2. siła przekrojowa, siła wewnętrzna, siłą zewnętrzna, gęstość sił wewnętrznych

· siła przekrojowa - uogólniona siła (czyli siła albo moment) wypadkowa pochodząca od obciążeń działających na odrzuconą część układu a redukowana do (względem) układu własnego przekroju poprzecznego; znak określany na podstawie konwencji znakowania sił przekrojowych

Układ sił zewnętrznych przyłożonych do części pierwszej jest równoważny układowi sił wewnętrznych przyłożonych do części drugiej.

Układ sił zewnętrznych przyłożonych do części drugiej jest równoważny układowi sił wewnętrznych przyłożonych do części pierwszej.

· siłą zewnętrzna – siłą jaką przykładamy do ciała ‘z zewnątrz’, dzielimy je na objętościowe(masowe – siły wywołane przyspieszeniem, związane z masą lub objętością ciała) i powierzchniowe(przyłożone do powierzchni ciała, przyczyną ich występowania jest zwykle oddziaływanie dwu ciał na siebie[akcja-reakcja]). Układ sił zew. Działających na ciało możemy podzielić na czynne(obciążenia) i bierne(reakcji).

· siła wewnętrzna - (w punkcie), siła wypadkowa, z jaką cząstki odrzuconej części układu działają na wybrany punkt przekroju(zawsze parami przeciwne, działają wzdłuż tej samej prostej, równe wartości, przeciwne zwroty)

· gęstość powierzchniowa sił wewnętrznych – jego miarą jest naprężenie. Jednostką naprężenia jest paskal. Naprężenie to stosunek siły działającej na jakimś elemencie pola do pola tego elementu.

3. tensor/macierz naprężenia i odkształcenia, interpretacja składowych

· macierz naprężenia - macierz, której elementami są współrzędne tensora naprężenia; matematyczny zapis stanu naprężenia w wybranym układzie współrzędnych

macierz symetryczna, reprezentacją tensora naprężeń jest macierz naprężeń

σx, σy, σz – naprężenia normalne na płaszczyźnie prostopadłej do osi: X,Y,Z

(gęstość powierzchniowa sił normalnych)

τ – naprężenia styczne

τyx – naprężenie styczne na płaszczyźnie prostopadłej

do osi Y i równoległe do osi X(analogicznie…) τxy= τyx τxz= τzx τyz= τzy

W warunkach równowagi naprężenia na dwóch równoległych do siebie

płaszczyznach mają takie same wartości i przeciwne znaki kiedy osie układu kartezjańskiego x,y,z pokrywają się z kierunkami głównymi naprężeń, a obliczone z równania naprężenia σx, σy, σz są naprężeniami głównymi. Jeżeli obrócimy prostopadłościan na rysunku o dowolny kąt w stosunku do kierunków działania sił, to na każdej płaszczyźnie oprócz naprężeń normalnych do niej pojawią się naprężenia styczne. I tak, w płaszczyźnie xy obok naprężenia normalnego σz wystąpią również naprężenia styczne ԏzx w kierunku osi x oraz ԏzy w kierunku osi y. W konsekwencji dowolny stan naprężenia opisany jest przez dziewięć składowych, które zapisujemy w formie tensora stanu naprężenia

· macierz odkształcenia - macierz, której elementami są współrzędne tensora odkształcenia; matematyczny zapis stanu odkształcenia w wybranym układzie współrzędnych. Jest to uporządkowany zbiór odkształceń linowych i kątowych.

macierz symetryczna, reprezentacją tensora odkształcenia, jest macierz odkształcenia

lub

εx, εy, εz – odkształcenia liniowe włókna równoległego do osi: X,Y,Z

ϒ – odkształcenia kątowe

ϒxy – odkształcenie kątowe włókien równoległych do osi X i Y(analogicznie…)

ϒxy= ϒyx, ϒxz= ϒzx, ϒyz= ϒzy

4. wartości (kierunki) własne macierzy odkształceń i naprężeń

· naprężenia:

Wartości własne macierzy naprężeń określają maksymalne występujące naprężenia normalne(ściskające lub rozciągające) nazywane naprężeniami głównymi. Przy występowaniu naprężeń głównych nie ma naprężeń ścinających. Macierz naprężeń posiada wartości tylko na głównej diagonali i są one ekstremalne.

Kierunki własne są to kierunki osi układu współrzędnych dla którego macierz tensora naprężeń jest macierzą diagonalną(posiada ekstremalne naprężenia normalne na przekątnej macierzy).

· odkształcenia:

Wartości własne macierzy odkształceń to ekstremalne odkształcenia liniowe występujące w danym stanie odkształcenia. Macierz odkształceń głównych posiada wartości tylko na głównej przekątnej i są to właśnie ekstremalne odkształcenia liniowe.

Kierunki główne są to 3 prostopadłe do siebie kierunki na których działają ekstremalne odkształcenia liniowe. Odkształceniom głównym nie towarzyszą zmiany kątów odkształcenia postaciowego (kątowego)

Równanie wiekowe - równanie sześcienne, w którym współczynnikami są niezmienniki główne a jego pierwiastkami – wartości własne tensora.

$\ - \sigma^3 + I_1 \sigma^2 - I_2 \sigma + I_3 = 0$

σ – naprężenie głowne

Niezmienniki - wielkość nie zależąca od przyjętego układu współrzędnych.

Niezmienniki główne wyznaczymy z:

$\ I_1 = \sigma_{ii} = \sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}$

$I_2 = \begin{vmatrix} \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{13} \\ \sigma_{31} & \sigma_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} \end{vmatrix}$

$I_3 = \begin{vmatrix} \sigma_{ij}\end{vmatrix}$

5. płaski stan naprężeń - wzory transformacyjne

Płaskim stanem naprężenia nazywamy przypadek kiedy dla wszystkich przekrojów poprowadzonych przez dany punkt ciała naprężenia leża na jednej płaszczyźnie.

Płaski stan naprężenia w punkcie można jednoznacznie określić za pomocą trzech niezależnych składowych wektora:

lub - naprężenia główne