PM_1_T.pdf

O PRACOWANIE DOKUMENTACJI POMIARÓW

WSTĘP TEORETYCZNY DO ĆWICZENIA

LABORATORYJNEGO

Nieodzowną częścią każdego eksperymentu me-

trologicznego jest sporządzenie właściwej jego do-

kumentacji. Z uwagi na różnorodność zadań pomia-

rowych, wyposażenia i organizacji pracy danego

laboratorium, nie jest możliwe podanie tylko jedne-

go, szczegółowego schematu postępowania przy jej

wykonywaniu; można jedynie sformułować pewne

zalecenia, które w miarę możliwości powinny być

spełnione. Z reguły zbiór podstawowych dokumen-

tów obejmuje wypełniany w trakcie wykonywania

pomiarów protokół oraz sporządzone na jego pod-

stawie sprawozdanie lub raport, stanowiące osta-

teczne podsumowanie przeprowadzonego ekspery-

mentu.

wykonaniu stosownych obliczeń i rozważeniu

wszystkich warunków wykonania eksperymentu.

Mimo wymogów wypełniania na bieżąco, proto-

kół powinien być prowadzony starannie. Niechlujne

lub nieczytelne notowanie wyników jest częstym

powodem błędnych interpretacji i świadczy o niskiej

kulturze technicznej eksperymentatora.

Do podstawowych informacji, które z reguły

powinny znaleźć się w każdym protokole należą:

1) dane dotyczące osoby lub osób przeprowadza-

jących pomiary, miejsce, data i temat, zestawio-

ne najczęściej w formie odpowiedniej tabeli na-

główkowej,

2) cel pomiarów,

3) niezbędne dane teoretyczne o przeprowadza-

nych pomiarach (jeśli wymagane),

4) wykaz aparatury, najlepiej sporządzony w for-

mie odpowiedniej tabeli, np. tabela 1,

Tabela 1. Przykład wykazu aparatury

Lp.

1. P ROTOKÓŁ POMIARÓW

Protokół pomiarowy jest dokumentem, który

należy prowadzić na bieżąco z wykorzystaniem

wcześniej przygotowanego formularza. Powinien on

być zwięzły, ale jednocześnie zawierać taką ilość

informacji o przeprowadzanym eksperymencie i

warunkach w jakich się on odbywał, aby mógł być

zrozumiały przez inne osoby nie biorące bezpośred-

niego udziału w pomiarach.

Wyniki odczytane z przyrządów powinny być

natychmiast notowane. Z uwagi na możliwość po-

wstania błędów, niedopuszczalne jest jakiekolwiek

przeliczanie ich w pamięci przed wpisaniem do

protokołu. Kolejność czynności powinna być nastę-

pująca: odczyt – zapis – sprawdzenie odczytu z

zapisem. Niewskazane jest również przepisywanie

protokołu, głównie ze względu na powstające wów-

czas pomyłki, przeinaczenia, pomijanie tych wyni-

ków, które wydają się mniej ważne lub błędne. Na

odrzucenie danego wyniku można decydować się

dopiero na etapie ostatecznego sprawozdania, po

Nazwa i

typ przy-

rządu

Numer punktu

pomiarowego

Oznaczenie

na schema-

cie

Uwagi

ponumerowane schematy układów pomiaro-

wych, umieszczone pod odpowiednimi punkta-

mi pomiarowymi,

wyniki pomiarów sporządzone, o ile to jest

tylko możliwe, w postaci tabeli zaopatrzonej w

numer i tytuł – np. tabela 2. Tabela jest najbar-

dziej jasną i zwartą formą zapisu. Każda ko-

lumna lub każdy wiersz w tabeli powinny być

oznaczone symbolem wielkości, której wartości

one zawierają, symbolem jednostki, w której te

wartości są podawane oraz numerem porząd-

kowym.

2) streszczenie będące zwięzłą prezentacją całej

treści,

3) krótki opis podstaw teoretycznych przeprowa-

dzanego doświadczenia (lub doświadczeń przy-

pisanych do odpowiednich punktów pomiaro-

wych protokołu) z uwzględnieniem zwięzłej

prezentacji zastosowanych metod pomiarowych,

4) opracowane wyniki pomiarów – wyniki wyko-

nanych obliczeń, przykładowe obliczenia, wy-

kresy,

5) dyskusję otrzymanych wyników.

Opracowanie wyniku pomiaru polega na podaniu

pary liczb: najbardziej prawdopodobnej wartości

wielkości mierzonej oraz przedziału zwanego błę-

dem, w którym z określonym prawdopodobień-

stwem zawiera się rzeczywista wartość mierzonej

wielkości. Ich poprawne wyznaczenie warunkowane

jest znajomością podstawowych pojęć i zasad ra-

chunku błędów występujących w pomiarach.

Tabela 2. Wyniki pomiaru pewnej charaktery-

styki częstotliwościowej

U z =

15V

Lp.

U 1

U 2

100

238

100

241

100

239

1000

100

175

Wartość uzyskana z pomiaru jest zawsze liczbą

przybliżoną (trudno wyobrazić sobie przyrząd po-

miarowy z wyświetlaczem kilkunastopozycyjnym).

Stopień tego przybliżenia określa liczba tzw. cyfr

znaczących. Cyframi znaczącymi są cyfry 0

9, przy

czym liczy się je począwszy od pierwszej cyfry

nierównej zeru z lewej strony; np. liczba 0,0067 ma

dwie cyfry znaczące, zaś liczba 156,08 – pięć cyfr

znaczących. Dla zaznaczenia ilości cyfr znaczących,

wygodnie jest posługiwać się mnożnikiem 10 n lub

stosować odpowiednie jednostki pochodne danej

wielkości. W tabeli 3 zestawiono przykłady określa-

nia cyfr znaczących.

2.1. Klasyfikacja błędów i podstawowe

oznaczenia.

Każdy pomiar jest obarczony błędem i każdy

eksperymentator ma obowiązek oszacować jego

poziom. W innym przypadku pomiar jest niewiary-

godny gdyż pojęcia pomiar i błąd są nierozerwalne.

Przyczyny powstawania błędów mogą być różne

i mogą mieć różny charakter. W związku z tym

błędy można podzielić na przypadkowe, systema-

tyczne, nieczułości i nadmierne (tzw. grube).

Błędy przypadkowe – spowodowane są oddzia-

ływaniem na układ pomiarowy wielu niezależnych

czynników, które zmieniają się w czasie w trudny do

przewidzenia sposób, oraz subiektywnych właści-

wości osób wykonujących pomiar.

Błędy systematyczne – spowodowane są od-

działywaniem na układ pomiarowy czynników,

które podczas pomiaru są stałe lub zmieniają się

według określonej zależności.

Błędy nadmierne – ich charakter jest w zasadzie

podobny do błędów przypadkowych, ale ze względu

na znaczną różnicę wartości dokonuje się ich zróżni-

cowania, a wyniki pomiarów nimi obarczone odrzu-

ca się.

Błędy nieczułości – występują tylko przy pomia-

rach przeprowadzanych metodami zerowymi, przy

których wykorzystuje się wskaźniki równowagi

charakteryzujące się pewną właściwością nazywaną

czułością przyrządu (zdolność przyrządu do reago-

wania na zmianę wartości wielkości mierzonej do-

piero powyżej pewnej minimalnej wartości tej wiel-

kości).

Błąd jest miarą określającą jak bardzo wynik

pomiaru różni się od wartości rzeczywistej mierzo-

nej wielkości.

Różnicę między wartością uzyskaną z pomiaru

X m , a wartością rzeczywistą X r mierzonej wielkości

nazywamy błędem bezwzględnym

Tabela 3. Przykłady cyfr znaczących

Wartość liczbowa

Liczba cyfr znaczących

812

trzy

10 3

trzy

1520 = 1,52

⋅

10 -3

dwie

0,032 = 32

⋅

10 -2

dwie

0,320 = 32

⋅

Może się jednak zdarzyć, że w pewnej sytuacji

należy uwzględnić także zero podane na ostatniej

pozycji wartości liczbowej. Sytuacja taka nastąpi

jeśli będziemy mieli do czynienia z serią pomiaro-

wą, w której jeden z wielu z wyników kończy się

zerem. Zapis wszystkich wyników powinien się

odbywać z dokładnością do tej samej liczby miejsc

znaczących. Stosowanie się do tej zasady daje pew-

ność - jaka jest wartość ostatniej cyfry znaczącej i

nie ma obaw, że wpisujący zapomniał ją na przykład

dopisać. Przykład pokazano w tabeli 4.

Tabela 4. Przykład zapisu serii pomiarów

Zły zapis serii pomia-

rowej

Dobry zapis serii po-

miarowej

1234,1

1234,4

1235,1

1234

1234,2

1234,1

1234,4

1235,1

1234,0

1234,2

2. S PRAWOZDANIE

Sprawozdanie (lub inaczej raport) z przeprowa-

dzonych pomiarów tworzy się na podstawie orygi-

nalnego protokołu pomiarów. W zależności od wy-

magań stawianych autorowi, może ono przybierać

różne formy. Najczęściej jednak obejmuje następu-

jące części składowe:

∆

X i zapisujemy

w postaci:

∆

−

(1)

tabelę nagłówkową zawierająca dane o autorze,

dacie wykonania i tytuł,

Błąd bezwzględny jest wyrażany w jednostkach

miary mierzonej wielkości. Jeżeli jest to możliwe,

można go wyeliminować przez zastosowanie po-

prawki p o znaku przeciwnym:

grę wchodzi jeszcze błąd dyskretyzacji wynoszący

1 kwant wielkości mierzonej. Błąd ten wynika z

zasady działania cyfrowych przyrządów pomiaro-

wych (zamiana wielkości ciągłej w dyskretną) i nie

da się go wyeliminować.

Bezwzględny błąd podstawowy pomiaru przy-

rządem cyfrowym podawany jest w jednej z dwóch

postaci:

−

∆

(2)

X jest stosunkiem

błędu bezwzględnego do wartości rzeczywistej mie-

rzonej wielkości:

Błąd względny (rzeczywisty)

∆

(

)

(9)

∆

(3)

∆

(10)

% X jest równy błę-

dowi względnemu wyrażonemu w procentach:

Błąd względny (procentowy)

gdzie: a – składowa analogowa błędu (zależna od

„klasy” przyrządu cyfrowego), b – składowa cyfro-

wa błędu.

Składowa analogowa błędu jest wyrażana w

przyrządach cyfrowych za pomocą wyrażenia (6).

Natomiast składowa cyfrowa wynosi 1 kwant na

ostatniej pozycji wyświetlacza (niektóre publikacje

podają 0,5 kwanta). Bardzo często producenci apa-

ratury pomiarowej pomijają ten błąd w danych ka-

talogowych (wyrażenie (10)), ponieważ jest on zwy-

kle 2

∆

⋅

100

(4)

Dokładność przyrządu pomiarowego jest wyra-

żana za pomocą klasy dokładności przyrządu lub za

pomocą błędu podstawowego (względnego) albo

bezwzględnego błędu podstawowego przyrządu (w

przypadku przyrządów z odczytem analogowym), a

w przypadku przyrządów z odczytem cyfrowym

tylko za pomocą bezwzględnego błędu podstawo-

wego .

Klasa dokładności przyrządu pomiarowego jest

wyznaczana na podstawie jego błędu podstawowego

wyrażanego w procentach, obliczanego jako stosu-

nek maksymalnej wartości bezwzględnego błędu

pomiaru i wartości nominalnej zakresu pomiarowe-

go. Klasą analogowego przyrządu pomiarowego jest

najmniejsza z liczb należąca do ciągu liczbowego

określonego przez Polską Normę i spełniającą za-

leżność:

5 razy mniejszy niż błąd analogowy (czasem

więcej).

W niektórych przypadkach równość (6) jest

przedstawiana dla przyrządów cyfrowych w postaci:

∆

(

)

(11)

gdzie: n – liczba cyfr (całkowita). n może przyjmo-

wać wartości od 1 do kilkuset.

Względny błąd pomiaru (dokładność pomiaru)

będzie określony jako stosunek bezwzględnego

błędu pomiaru do wartości wielkości mierzonej co

można zapisać w następujący sposób:

∆

max

≥

⋅

100

(5)

⋅

100

(12)

Zgodnie z PN-92/E-06501/01 ustalono, że do

określenia klasy elektrycznych i elektronicznych

analogowych przyrządów pomiarowych stosować

należy wartości liczbowe z ciągu (1;2;5)

Jeżeli porównamy wyrażenie (12) z wyrażeniami

(6), (7), (11) to widać, że względny błąd pomiaru

jest tym większy im większy jest stosunek wartości

zakresu nominalnego przyrządu pomiarowego do

wartości mierzonej.

W dalszej części ograniczymy się do bliższego

zaprezentowania najczęściej występujących rodza-

jów błędów – przypadkowych i systematycznych.

10 -n - gdzie

n oznacza liczbę całkowitą. Ponadto dopuszcza się

klasy 0,3; 1,5; 2,5; 3.

Jak wspomniano wyżej, dokładność przyrządu

pomiarowego może być także określana za pomocą

bezwzględnego błędu podstawowego przyrządu

pomiarowego

⋅

g X . Błąd ten w zależności od produ-

centa może być zdefiniowany na różne sposoby:

∆

2.2. Błędy przypadkowe

Błędu przypadkowego nie można uwzględnić ja-

ko poprawki w wyniku pomiaru. Można tylko na

podstawie serii pomiarów wykonanych w tych sa-

mych warunkach (ten sam przyrząd, eksperymenta-

tor, warunki klimatyczne itd.) ustalić z określonym

prawdopodobieństwem granice tego błędu. Posłu-

gując się metodami statystycznymi można oszaco-

wać jego wpływ na wynik pomiaru.

Z uwagi na fakt, że wyniku pomiaru obarczone-

go błędem przypadkowym nie da się przewidzieć,

przyjmuje się, że jest on zmienną losową (najczę-

ściej ciągłą). W procesie pomiaru zmienna ta przyj-

muje tylko jedną konkretną wartość; z określonym

prawdopodobieństwem możliwe są jednak również

∆

(

(6)

∆

(7)

∆

(8)

gdzie: w.m.=X m – wartość mierzona; w.z.n. = X N –

wartość nominalna zakresu; a, b, c, d – wartości

liczbowe (wyrażone w %) charakterystyczne dla

danego przyrządu (c – klasa lub błąd podstawowy

względny).

Dla cyfrowych przyrządów pomiarowych nie

wyznacza się klasy, ponieważ w ich przypadku w

wartości inne. Ze względu na potwierdzone do-

świadczalnie założenia mówiące, że przy odpowied-

nio dużej liczbie pomiarów ( n >30):

•

(średni kwadratowy błąd średniej) jest n razy

mniejszy od odchylenia standardowego pojedyncze-

go pomiaru:

błędy równe co do wartości bezwzględnej, ale o

przeciwnych znakach zdarzają się jednakowo

często,

∑ =

(

)

−

•

prawdopodobieństwo wystąpienia błędu dodat-

niego równe jest prawdopodobieństwu wystą-

pienia błędu ujemnego,

∆

(16)

(

)

−

Powyższy parametr jako miara rozrzutu średniej ma

istotny sens fizyczny, gdyż wyznacza prawdopodo-

bieństwo z jakim wartość rzeczywista x r zawiera się

w przedziale ( X s

•

częstość występowania błędów małych jest

większa niż błędów dużych,

•

błędy są zdarzeniami niezależnymi,

zmienna losowa X tworząca wynik pomiaru charak-

teryzuje się ściśle określonym rozkładem funkcji

gęstości prawdopodobieństwa, zwanym rozkładem

Gaussa (rys. 1):

s ). Przedział ten nosi

nazwę przedziału ufności, a prawdopodobieństwo

mu odpowiadające nazywa się poziomem ufności.

Charakterystycznymi przedziałami ufności i odpo-

wiadającymi im poziomami ufności są:

dla t=1 P( X s

−

s , X s +t

(

)

−σ

s < x r < X s +

s )=0,6826,

−

()

exp

−

(13)

dla t=2 P( X s

−

s < x r < X s + 2

s )=0,9546,

dla t=3 P( X s

−

s < x r < X s + 3

s )=0,9974.

w którym jako x r traktuje się wartość rzeczywistą

wartości mierzonej. Parametr

Przedział

s oznacza więc, że wystąpi w nim

99.74% wszystkich wyników obarczonych błędami

przypadkowymi. Prawdopodobieństwo wystąpienia

błędu przypadkowego o module większym niż 3

>0 jest miarą roz-

rzutu wartości tak określonej zmiennej losowej i

nosi nazwę odchylenia standardowego.

jest więc bardzo małe. Przedział:

∆

⋅

∆

(17)

jest granicznym błędem przypadkowym wartości

średniej, zwanym też granicznym przedziałem ufno-

ści.

Należy jednak pamiętać, że zależność na

sp X s jest

słuszna pod warunkiem dużej liczby powtórzeń

pomiarów (teoretycznie n

∆

→∞

). Przy liczbie pomia-

rów n =3

20 wynik pomiaru jako zmienna losowa

ma rozkład Studenta. Rozkład ten jest szerszy i bar-

dziej spłaszczony od rozkładu Gaussa – rys. 2.

Rys. 1. Przykłady funkcji Gaussa.

Podczas wykonywania pomiarów wartość rzeczywi-

sta x r wielkości mierzonej nie jest znana, ale można

wykazać, ze jej wartością najbardziej prawdopodob-

ną ze statystycznego punktu widzenia jest średnia

arytmetyczna serii n pomiarów:

∑ =

(14)

Drugi parametr rozkładu zmiennej losowej jako

wyniku pomiaru, odchylenie standardowe

Rys. 2. Postać rozkładu Gaussa (1) i Studenta (2)

przy ustalonej liczbie pomiarów k .

, przy

dostatecznie dużej liczbie pomiarów n >30 może być

wyznaczony ze wzoru:

Zależy on jednak od liczby pomiarów i przy n >30

przyjmuje praktycznie kształt krzywej Gaussa. Przy

wyznaczaniu przedziału ufności z rozkładu Studenta

korzysta się z odpowiednich tablic lub stosuje się

przybliżenie w postaci skorygowanego wzoru na

∆

∑ =

(

)

−

(15)

sp X s rozkładu Gaussa:

∆

−

’ sp X s = k’

∆

sp X s ,

(18)

jako średni kwadratowy błąd pojedynczego pomiaru.

Oczywiście samą średnią arytmetyczną X s serii po-

miarów można też traktować jako zmienną losową

(licząc średnie z kilku serii pomiarowych uzyskuje

się różniące się wartości). Teoria prawdopodobień-

stwa stwierdza, że odchylenie standardowe średniej

gdzie:

(19)

−

Zależność na

∆

gp X s pozostaje bez zmian.

gdzie

∆

X 1 i

∆

X 2 są przyrostami X 1 i X 2 a

są tzw. pochodnymi cząstko-

wymi Y względem X 1 i X 2 . Oznacza to, że

∂

2.3. Błędy systematyczne

Błędy systematyczne mają decydujący wpływ na

wynik pomiaru. Można je podzielić na następujące

grupy:

•

jest wynikiem różniczkowania Y wzglę-

dem X 1 przy ustalonym X 2 , a

∂

to wynik

różniczkowania Y względem X 2 przy ustalonym X 1 .

Obie pochodne obliczane są w punkcie ( X 1 , X 2 ).

Stąd błąd bezwzględny:

∂

błędy przyrządów pomiarowych;

•

błędy metody pomiarowej lub układu po-

miarowego;

∂

błędy wywołane czynnikami zakłócającymi

o stałej wartości w czasie lub zmieniające

się zgodnie ze znaną zależnością.

Jednym z głównych zadań eksperymentatora jest

minimalizacja tych właśnie błędów. Błędy pierwszej

grupy można jedynie ograniczać przez zastosowanie

coraz dokładniejszych przyrządów, ale stosowanie

przyrządów dokładnych (dobrych) jest drogie. W

związku z tym przystępując do planowania jakiegoś

eksperymentu (przygotowując się do pomiaru) nale-

ży bardzo wnikliwie zastanowić się nad możliwością

eliminacji lub przynajmniej znacznego ograniczenia

błędów należących do pozostałych dwóch grup (np.

przez wyliczenie odpowiednich poprawek i zasto-

sowanie ich).

Podstawowym parametrem opisującym dokład-

ność przyrządu pomiarowego jest graniczny syste-

matyczny błąd przyrządu obliczany z zależności:

•

∆

(23)

∂

a błąd względny:

∆

∂

∆

∂

∆

(24)

∂

W przypadku, gdy wielkości pomocniczych okre-

ślonych z błędami jest więcej, korzysta się z rozwi-

nięcia w szereg Taylora funkcji kilku zmiennych.

Błąd bezwzględny pomiaru wielkości Y można

wówczas przedstawić w następujący sposób:

∂

∆

...

∆

. (25)

∂

Pouczające jest wyznaczenie tego błędu dla dwu

elementarnych pomiarów pośrednich. Jeżeli np.

(

)

1 ,

(26)

(

)

to obie pochodne cząstkowe:

∆

(20)

100

∂

(27)

lub za pomocą wzorów (6), (7), (8) oraz (9) i (11).

Wyrażenie (20) jest tożsame wyrażeniu (7). Przy

założeniu równomiernego rozkładu błędu systema-

tycznego w przedziale

∂

Wówczas zgodnie z (25):

∆

gs X można też wykazać, że

średni kwadratowy błąd systematyczny jest równy:

±∆

≈

∆

X 1 +

∆

X 2

(28)

I drugi przykład – jeżeli:

(

∆

)

1 ,

⋅

(29)

∆

(21)

to pochodne cząstkowe mają postać:

∂

2.4. Błędy w pomiarach pośrednich

W eksperymentach pomiarowych spotkać można

dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredni, gdy

wartość wielkości mierzonej jest określona na pod-

stawie wskazania jednego przyrządu i pomiar po-

średni, gdy wyznaczana wielkość Y jest funkcją

kilku innych wielkości pomocniczych X i :

Y =f( X 1 , X 2 ,..., X n ). Rozważmy ten drugi rodzaj po-

miarów.

Chcemy wiedzieć, jakim błędem wypadkowym

(30)

∂

A zatem błąd bezwzględny wynosi:

∆

⋅

∆

⋅

∆

(31)

a błąd względny:

∆

⋅

∆

⋅

∆

(32)

∆

Y będzie obciążona wielkość Y , przy znanych błę-

dach wielkości pośrednich X i . Najczęściej stosowaną

metodą szacowania tego błędu, zarówno w odniesie-

niu do błędów systematycznych i przypadkowych,

jest wykorzystanie pewnej tożsamości matematycz-

nej zwanej rozwinięciem funkcji w szereg Taylora

[1] [3] [4]. Ograniczając się do funkcji dwu zmien-

nych powyższe rozwinięcie ma postać:

⋅

∆

Uzyskaliśmy więc dwie proste reguły wyznaczania

błędów w pomiarach pośrednich: 1) błąd bez-

względny sumy kilku wielkości jest sumą błędów

bezwzględnych każdej z nich oraz 2) błąd względny

iloczynu kilku wielkości jest sumą błędów względ-

nych każdej z nich. Według wzoru (25), określają-

cego tzw. model propagacji (przenoszenia) błędów,

możliwe jest wyznaczenie błędu dla dowolnej zależ-

∆

(

)

(

)

∆

≈

(22)

∂

∆

∂

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: