Podstawy automatyki - zbiór zadań - Janusz Staszewski.pdf

(9529 KB) Pobierz
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/strict.dtd">
PODSTAWY AUTOMATYKI
ZBIÓR ZADAŃ
z przykładowymi rozwiązaniami
JANUSZ STASZEWSKI
Wrocław 2012
848340266.006.png
SPIS TREŚCI
1. Transformata Fouriera............................................................................. 3
2. Transformata Laplace’a........................................................................... 6
3. Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe ...................................... 26
4. Algebra schematów blokowych ............................................................ 39
5. Uchyby ustalone.................................................................................... 55
6. Stabilność .............................................................................................. 58
7. Korekcja analogowa.............................................................................. 73
8. Zmienne stanu ....................................................................................... 76
9. Obserwowalność i sterowalność ........................................................... 96
10. Transformata Z ..................................................................................... 98
11. Równania różnicowe........................................................................... 114
12. Ekstrapolatory ..................................................................................... 122
13. Algebra schematów blokowych Z ...................................................... 126
14. Uchyby ustalone Z ............................................................................. 134
15. Stabilność Z ........................................................................................ 137
16. Korekcja cyfrowa ................................................................................ 149
17. Układy nieliniowe ............................................................................... 152
DODATEK Podstawy teoretyczne
A. Transformata Fouriera......................................................................... 159
B. Transformata Laplace’a....................................................................... 161
C. Charakterystyki Bodego ...................................................................... 164
D. Algebra schematów blokowych .......................................................... 165
E. Uchyby ustalone .................................................................................. 167
F. Stabilność ............................................................................................ 168
G. Zmienne stanu. Obserwowalność i sterowalność................................ 172
H. Transformata Z ................................................................................... 174
I. Algebra schematów blokowych Z ...................................................... 178
J. Uchyby ustalone Z ............................................................................. 180
K. Stabilność Z ........................................................................................ 180
L. Układy nieliniowe ............................................................................... 183
Transformata Fouriera
3
1. TRANSFORMATA FOURIERA
1.1. Przykładowe rozwiązania
Zad. 1. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Fouriera funkcji
1
dla
0
t
2
f
(
t
)
0
dla
t
0
i
t
2
Rozwiązanie:
Podstawiając wprost do wzoru (A.1) otrzymamy:
2
2
1
j
1
 
j
t
j
t
j
t
2
j
f(t)
f(t)e
d
t
e
d
t
e
e
F
(1.1)
j
0
0
Zad. 2. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Fouriera funkcji
t
tf 2
( 
e
j
Rozwiązanie:
Podstawiając wprost do wzoru (A.1) otrzymamy:
   
t
j
2
t
j
2
t
j
t
j
2
t
f(t)
e
e
e
d
t
e
d
F
F
(1.2)
Korzystając z zasady dualizmu (A.4) i wzoru (A.5) otrzymamy:
 
j
2
t
e F
2

(
2
(1.3)
f
)( 1
t
(
t
)
e
5
jt
Zad. 3. Znaleźć transformatę Fouriera funkcji
korzystając z podsta-
wowych własności transformaty.
Rozwiązanie:
Skorzystamy z twierdzenia o opóźnieniu w dziedzinie częstotliwości (A.10) i tabeli
A.1:
j
j
 
et jt 1
5
1 F
(
)
(
t
)

(
)

(
5
F
(1.4)
5
5
5
848340266.007.png 848340266.008.png 848340266.009.png 848340266.001.png 848340266.002.png 848340266.003.png
 
Transformata Fouriera
4
1.2. Zadania
Zad. 1. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Fouriera funkcji:
2
dla
-
1
t
1
 
f
(
t
)
3.
1.
tf 2
( 
sin
t
0
dla
t
-1
i
t
1
5
dla
-
1
t
3
 
f
(
t
)
4.
tf 3
( 
cos
t
2.
0
dla
t
1
i
t
3
Podpowiedź do pkt. 3 i 4:
można z zależności
 
 
 
 
wyznaczyć funkcję
sinus (po obustronnym odjęciu) lub kosinus (po obustronnym dodaniu) i wprost podstawić do
całkowania.
e t
j
oraz
e t
j
cos
t
j
sin
t
cos
t
j
sin
t
Zad. 2. Korzystając z podstawowych własności transformaty znaleźć transformatę
Fouriera funkcji:
2
jt
tf 1
(
)
t
(
5
1.
f
(
t
)
(
t
)
e
4.
4
jt
2
t
2.
f
(
t
)
1
(
t
)
e
5.
f
(
t
)
1
(
t
)
t
e
(
2
4
j
)
t
(
j
)
t
3.
f
(
t
)
1
(
t
)
e
6.
f
(
t
)
1
(
t
)
t
e
1.3. Jak to się robi w Matlabie?
1.3.1. Wyznaczanie transformaty Fouriera
Korzystając z programu Matlab, możemy policzyć transformatę Fouriera dowolnej
funkcji w dziedzinie czasu. Oczywiście funkcja musi spełniać warunek (A.2).
W tym celu np. dla równania
tf 1
)( t
(
)
(skok jednostkowy) należy wykonać nastę-
pującą sekwencję instrukcji:
syms t % deklaracja zmiennej symbolicznej t (bez podania konkretnej wartości)
F=fourier (heaviside(t)) % obliczenie transformaty Fouriera wyrażenia w nawiasie;
% wynik w zmiennej F
Efektem działania powyższej funkcji będzie:
F =
pi*dirac(w) - i/w
Uwaga: delta Diraca i skok jednostk owy to w Matlabie funkcje odpowiednio:
dirac( ) i heaviside( ) ;
i ; w – pulsacja.
1
848340266.004.png
 
Transformata Fouriera
5
1.3.2. Wyznaczanie odwrotnej transformaty Fouriera
Mając daną transformatę Fouriera możemy policzyć transformatę odwrotną. W tym
1
F
(
)
celu np. dla
należy wykonać następującą sekwencję instrukcji:
1
i
syms w % deklaracja zmiennej symbolicznej w (bez podania konkretnej wartości)
f=ifourier (1/(1+i*w)) % obliczenie odwrotnej transformaty Fouriera wyrażenia
% w nawiasie; wynik w zmiennej f
Efektem działania powyższej funkcji będzie:
f =
heaviside(x)/exp(x)
Jeżeli chcemy aby argumentem funkcji f był czas t należy w Matlabie wpisać:
syms w % deklaracja zmiennej symbolicznej w (bez podania konkretnej wartości)
syms t % deklaracja zmiennej symbolicznej t (bez podania konkretnej wartości)
f=ifourier (1/(1+i*w),t) % obliczenie odwrotnej transformaty Fouriera wyrażenia
% w nawiasie; wynik w zmiennej f
Co w rezultacie da:
f =
heaviside(t)/exp(t)
848340266.005.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin