WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY
LIGA ZADANIOWA
etap 12 - odpowiedzi
Klasy I
12. W 16 kg nasion znajduje się 10 % zanieczyszczeń. Ile kilogramów zanieczyszczeń trzeba usunąć, aby stanowiły one tylko 4%?
Odp. Oznaczmy przez - ilość zanieczyszczeń (w kg), które trzeba usunąć.
Pierwotnie nasiona zawierały: 10% z 16 kg = 0,10∙16=1,6 kg zanieczyszczeń.
Po usunięciu x kg zanieczyszczeń zostało: kg zboża, wśród których znajdowało się kg zanieczyszczeń.
Wiemy, że: 4% z = .
Odp. Trzeba usunąć 1 kg zanieczyszczeń.
Klasy II
12. Spośród trojga uczniów, których imiona umieszczono na kartach wyborczych, ma być wybrana dwuosobowa reprezentacja do samorządu szkoły. Głos jest ważny, jeśli na karcie wyborczej pozostały nieskreślone dokładnie dwa imiona. W wyborach oddano 37 głosów i wszystkie były ważne. Ania otrzymała o 10 głosów więcej niż Bernard i o 12 głosów więcej niż Celina. Na ilu kartach wyborczych było skreślone imię Ani?
Odp. Oznaczmy przez - ilość głosów oddanych na Anię.
Bernard otrzymał o 10 głosów mniej niż Ania, czyli otrzymał głosów.
Celina otrzymała o 12 głosów mniej niż Ania, czyli otrzymała głosów.
Łącznie oddano głosów, stąd równanie: .
Na 32 kartach imię Ani było nieokreślone, czyli było skreślone na kartach.
Odp. Imię Ani było skreślone na 5 kartach.
Klasy III
12. Uzasadnij, że jeśli , to .
Odp. Niech , , , dowolne liczby rzeczywiste takie, że .
Po wykonaniu działań otrzymujemy równoważne równanie:
Jedynym miejscem zerowym funkcji jest 0 (innymi słowy skoro kwadrat liczby jest równy 0, to ta liczba musi być równa 0), stąd:
Co należało udowodnić
matematyka4lo