WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY
LIGA ZADANIOWA
etap 7 - odpowiedzi
Klasy I
7. Wyznacz wszystkie liczby sześciocyfrowe, które zwiększą się sześciokrotnie, gdy ich trzy ostatnie cyfry przeniesiemy bez zmiany porządku na początek.
Odp.
Oznaczmy szukaną liczbę sześciocyfrową jako , gdzie , - pewne liczby trzycyfrowe. Wtedy , a po przestawieniu cyfr opisanym w treści zadania otrzymujemy liczbę . Z treści zadania wynika, że:
Lewa strona równania jest podzielna przez 857 stąd prawa strona również musi być podzielna przez 857. Liczby 857 i 142 są względnie pierwsze (nie mają wspólnych dzielników), stąd musi być podzielne przez 857. Jedyną trzycyfrową wielokrotnością liczby 857 jest 857, stąd , a .
Odp. 142857
Klasy II
7. W grupie 5 dziewcząt niektóre są przyjaciółkami, a inne nie. Każda z dziewcząt ma w tej grupie albo 2 przyjaciółki albo 3 przyjaciółki, a gdy 2 dziewczynki przyjaźnią się, to nie mają
nigdy tej samej liczby przyjaciółek w tej grupie. Ela ma w tej grupie 3 przyjaciółki. Amelia przyjaźni się z Kasią. Beata jest również przyjaciółką Kasi. Podaj, w kolejności alfabetycznej, imiona przyjaciółek Dominiki.
Odp. Najwygodniej podobne zagadki logiczne rozwiązywać za pomocą tabeli.
1. Stawiamy w kratkę symbol · jeśli dziewczynki (których imionami nazwaliśmy wiersz i kolumnę tabeli) się przyjaźnią, a symbol ´ jeśli dziewczynki nie są przyjaciółkami. Oczywiście dziewczynka nie przyjaźni się z samą sobą, stąd wstawiamy ´ w każdej kratce na przekątnej. Oczywista jest też symetria relacji przyjaźni.
2. W każdym wierszu i kolumnie mogą być 2 albo 3 symbole ·. Ela nie może przyjaźnić się z Kasią, bo zarówno Ela jak i Kasia miałyby po 3 przyjaciółki.
3. Ela ma w tej grupie 3 przyjaciółki. Jej przyjaciółki Amelia, Beata i Dominika mogą mieć dwie przyjaciółki.
1
A
B
D
E
K
2
3
´
·
...
matematyka4lo