02 - Położenia ciał na sferze.pdf

(177 KB) Pobierz
Rozdział 2
Połozenia ciał na sferze
Streszczenie
Kierunki do ciał niebieskich mozna okreslac równniez przy załozeniu, ze ciała te znajduj a sie na
sferze o promieniu równym jednosci. Geometria sfery jest geometri a na zakrzywionej powierz-
chni dwuwymiarowej i w wielu przypadkach rózni sie od euklidesowej geometrii na płaszczyznie.
Elementami sfery wykorzystywanymi w astronomii s a koła wielkie i skonstruowane z ich po-
moc a dwuk aty i trójk aty sferyczne. W geometrii na sferze koła wielkie pełni a role analogiczn a do
prostych w planimetrii. Suma k atów wewnetrznych w trójk acie sferycznym jest zawsza wieksza
od . Na sferze mog a istniec trójk aty, w których wszystkie k aty s a k atami prostymi. Elementy
trójk ata sferycznego spełniaj a kilka grup równa n pozwalaj acych na rozwi azywanie wielu zagad-
nie n z zakresu astronomii sferycznej. Do najczesciej wykorzystywanych wzorów nalez a wzory
sinusów i cosinusów. Problemy rozwi azywane w ramach trygonometrii sferycznej daj a sie takze
uj ac w formalizmie wektorowym.
Połozenie ciała na sferze ustalone jest z pomoc a dwóch k atów, azymutalnego i polarnego .
Kazdy układ współrzednych sferycznych wymaga okreslenia bieguna układu, wzgledem którego
mierzony jest k at , oraz koła wielkiego pełni acego role płaszczyzny odniesienia, słuz acej jako
pocz atek rachuby dwusciennego k ata .
W astronomii wykorzystuje sie wiele róznych układów współrzednych, st ad konieczna jest
umiejetnosc przeliczania współrzednych pomiedzy dwoma układami. Transformacje współ-
rzednych dokonuje sie drog a rozwi azania odpowiedniego trójk ata sferycznego albo za pomoc a
macierzy obrotu, w szczególnosci z wykorzystaniem k atów Eulera.
Słowa kluczowe: sfera niebieska, koło małe, koło wielkie, bieguny koła wielkiego, k at sferyczny,
dwuk at sferyczny, trójk at paralaktyczny, nadmiar sferyczny, współrzedne sferyczne, współrzedne
prostok atne, triada ortogonalna, transformacje współrzednych, k aty Eulera
10
Połozenia ciał na sferze
2.1
Definicja połoze n punktów w przestrzeni
Umawiamy sie, ze otaczaj aca nas przestrze n jest przestrzeni a euklidesow a, trójwymiarow a, ze
w tej przestrzeni dany jest układ prostok atnych osi współrzednych rozpiety na trójce
1
wersorów i j k .
Pomiedzy wersorami obowi azuj a nastepuj ace zaleznosci
(2.1)
Trójke i j k mozemy uj ac w formie macierzy
zwanej triad a R
(2.2)
Jej elementy s a cosinusami kierunkowymi kierunków i j k . Transpozycja triady R ma postac
(2.3)
Iloczyn
(2.4)
Co poci aga R 1
, czyli triada R jest macierz a ortogonaln a.
Stwierdzenie, ze wektor r opisuje połozenie ciała niebieskiego oznacza, ze do naszej dys-
pozycji s a trzy składowe , czyli trzy liczby wyznaczone wzgledem triady R . Na pismie
wyrazamy to stwierdzenie za pomoc a zapisu
(2.5)
2.2
Elementy geometryczne na sferze
Sfera.
Sfera jest to powierzchnia, której punkty s a równo odległe od punktu zwanego srodkiem sfery.
Jesli w srodku sfery umiescimy pocz atek układu współrzednych, to dla punktów połozonych na
sferze jednostkowej bedzie
Sfera jest powierzchni a dwuwymiarowa, sko nczon a ale nieograniczon a. Geometria sferyczna jest
geometri a na powierzchni zakrzywionej, jest to geometria dwuwymiarowa znacznie rózni aca sie
? Pytanie to wykracza poza ramy tego wykładu, bowiem
posrednio dotyczy spraw ostatecznych podobnie jak pytanie — czy najpierw było jajo, czy kura? Poniewaz astronomia
nie zajmuje sie takimi problemami, dlatego poprzestajemy na tym, ze elementy tej trójki s a znamymi cosinusami kierunk-
owymi prostych, wzdłuz których lez a wersory i;
1 A w jaki sposób ustalono orientacje trójki wersorów i;
.
882304050.007.png 882304050.008.png
2.2 Elementy geometryczne na sferze
11
P
A
O
B
X
Q
Rysunek 2.1: Ilustracja elementów sfery: jest srodkiem sfery, okr ag przechodz acy przez punkty
tradycyjnie nazwany jest kołem wielkim.
Punkty i s a biegunami koła wielkiego
.
od euklidesowej geometrii na płaszczyznie. W szczególnosci, na sferze nie istniej a linie proste,
ich role graj a okregi tradycyjnie zwane kołami wielkimi.
Koło wielkie .
Kazde przeciecie sfery płaszczyzn a jest okregiem.
Przeciecie sfery płaszczyzn a przechodz ac a
przez srodek sfery jest kołem wielkim , np.
koło z rysunku 2.1. Promie n koła wielkiego
jest równy promieniowi sfery, a wektory r opisuj ace połozenia punktów koła wielkiego spełniaj a
równanie
(2.6)
gdzie n jest wektorem definiuj acym jeden z biegunów koła wielkiego. Ko nce srednicy prostopadłej
do koła wielkiego sfery nazywamy biegunami tego koła. Na rysunku 2.1 biegunami koła wielkiego
s a punkty i , punkty połozone diametralnie. Zauwazmy, ze dowolne koło wielkie prze-
chodz ace przez jeden z biegunów , musi takze przechodzic przez drugi biegun .
Dwa punkty sfery, które nie s a punktami diametralnymi jak np. i , wyznaczaj a koło
wielkie jednoznacznie, bowiem ł acznie ze srodkiem sfery (punktem ) jednoznacznie okreslaj a
płaszczyzne, której przeciecie ze sfer a jest kołem wielkim. Na punktach , rozpiete s a dwa łuki,
mniejszy z nich nazywany lini a geodezyjn a , jest najkrótsz a krzyw a jak a mozna na sferze poł aczyc
punkty i . Linie geodezyjne, (zwane tez odległosciami sferycznymi) pełni a na sferze role
analogiczn a jak linie proste w geometrii euklidesowej.
, długosc łuku koła wielkiego równa jest k atowi w radianach 2
jaki ten łuk rozpina wzgledem srodka sfery.
Poniewaz promie n sfery
Dwuk at sferyczny .
W wyniku przeciecia tej samej sfery dwoma kołami wielkimi wyznaczone zostan a cztery obszary
(powierzchnie) zwane dwuk atami sferycznymi (rysunek 2.2-a). Dwuk aty przeciwległe s a parami
przystaj ace. Dwuk at sferyczny okreslony jest k atem sferycznym, np. k atem na rysunku 2.2-a.
K at ten jest równy k atowi liniowemu okreslonemu przez płaszczyzny, na których lez a koła wielkie
tworz ace dany dwuk at. Półokregi tych kół wielkich nazywamy bokami dwuk ata. Na danej sferze,
boki wszystkich dwuk atów s a równe i maj a długosc , gdzie jest promieniem sfery.
3
Pole
2 Oprócz radianów mozna oczywiscie uzywac innych miar k ata.
3 Ze wzgledu na dosc czeste nieporozumienia, warto zapamietac, ze dwuk at sferyczny (podobie trójk at sferyczny) jest
fragmentem powierzchni sfery, a nie k atem.
882304050.009.png 882304050.010.png 882304050.001.png
12
Połozenia ciał na sferze
A
a)
b)
A
O
A’
Rysunek 2.2: Dwuk aty sferyczne: a) cztery dwuk aty powstaj a w wyniku przeciecia sfery dwoma
kołami wielkimi; b) dwuk aty sferyczne s a w pełni opisane przez promie n sfery i k at sferyczny .
pwierzchni dwuk ata sferycznego mozna obliczyc ze wzoru
gdzie jest k atem dwuk ata wyrazonym w radianach.
K at pomiedzy płaszczyznami kół wielkich czesto jest nazywany k atem sferycznym. O K acie
sferycznym mozna tez powiedziec, ze jest to k at pomiedzy stycznymi wystawionymi w punkcie
wzajemnego przeciecia sie kół wielkich (patrz rysunek 2.2-b).
Trójk at sferyczny .
Trzy koła wielkie nie przecinaj ace sie w jednej parze punktów diametralnych tworz a na sferze
osiem obszarów zwanych trójk atami sferycznymi (rysunek 2.3-a). Znaj ac elementy jednego z nich
(czyli trzy boki i trzy k aty sferyczne, np. łuki kół wielkich i k aty wewnetrzne ),
łatwo wyznaczyc elementy wszystkich pozostałych trójk atów. Dlatego zwykle rozpartuje sie
zaleznosci pomiedzy elementami tylko jednego trójk ata, którego wszystkie boki s a krótsze od
połowy obwodu koła wielkiego. Taki trójk at sferyczny nosi nazwe trójk ata paralaktycznego lub
trójk ata eulerowskiego .
Boki trójk ata sferycznego tradycyjnie oznaczane s a małymi literami, a ich długosci mierzone
s a za pomoc a płaskich k atów k ata trójsciennego , np.
.
Wewnetrzne k aty przy wierzchołkach trójk ata oznaczane duzymi literami mierzone s a
na rysunku 2.3
k atami dwusciennymi (k atami sferycznymi) tego samego k ata trójsciennego.
Trójk aty sferyczne eulerowskie maj a pewne własnosci wspólne z trójk atami płaskimi, np.
dowolny bok trójk ata jest mniejszy od sumy, ale wiekszy od róznicy dwóch boków pozostałych.
Jednak mamy tez miedzy nimi istotne róznice, np. w trójk acie sferycznym suma k atów wewnetrz-
nych nie jest stała, bowiem, ze suma nalezy do przedziału
Trójk at płaski moze miec tylko jeden k at prosty, trójk at sferyczny niekoniecznie, moze miec ich
dwa a nawet trzy. Róznica
gdzie nazywanajest nadmiarem sferycznym .
882304050.002.png 882304050.003.png
2.2 Elementy geometryczne na sferze
13
A
a)
b)
A
c
b
O
B
B
C
C
a
Rysunek 2.3: Trójk aty sferyczne: a) osiem trójk atów sferycznych mozna otrzymac z przeciecia
trzech kół wielkich; b) Trójk at paralaktyczny A,B,C rozpiety na trzech wektorach jednostkowych.
Elementy trójk ata to k aty wierzchołkowe (k aty sferyczne) i naprzeciw nich połozone boki
. Zarówno k aty jak i boki mierzone s a w jednostkach k atowych.
P
q
y
r M
B
A
S
E
q
D
C
O
y
F
Q
Rysunek 2.4: Elementy sfery: koło małe . Jest ono odległe o k at od swego bieguna .
Wycinek koła małego opiera sie ramionach i rozwartych o k at . Długosc wycinka
wynosi .
Pole powierzchni trójk ata sferycznego dana jest z pomoc a formuły
gdzie jest promieniem sfery wyrazonym w radianach.
Koło małe .
Slad przeciecia sfery płaszczyzn a nie przechodz ac a przez srodek sfery jest okregiem, tradycyjnie
zwanym kołem małym . Jego biegunami s a punkty skrajne srednicy sfery wystawionej prostopadle
do płaszczyzny koła małego.
Promie n koła małego jest zawsze mniejszy od promienia sfery. Na rysunku 2.4 widzimy koło
małe , równoległe do n koło wielkie oraz ich wspólne w tym przypadku bieguny i
.
Wyprowadzimy formułe na długosc łuku koła małego, czesto stosowan a w dalszej czesci wykładu.
Niech M bedzie promieniem koła małego, łuk jest miar a odległosci koła małego od
882304050.004.png 882304050.005.png 882304050.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin